140.(2023·安徽)计算定积分int_(-1)^1((1-e^x)/(1+e^x)+xe^x)dx.
题目解答
答案
将原积分拆分为两部分：
$\int_{-1}^{1} \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} + xe^x \right) dx = \int_{-1}^{1} \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx + \int_{-1}^{1} xe^x \, dx$
第一部分：
函数 $ f(x) = \frac{1-e^x}{1+e^x} $ 满足 $ f(-x) = \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}} = -f(x) $，故为奇函数。在对称区间 $[-1, 1]$ 上，奇函数的积分值为0，即
$\int_{-1}^{1} \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx = 0$
第二部分：
使用分部积分法计算 $ \int_{-1}^{1} xe^x \, dx $。设 $ u = x $，$ dv = e^x \, dx $，则 $ du = dx $，$ v = e^x $。由分部积分公式得
$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C$
因此
$\int_{-1}^{1} xe^x \, dx = \left[ xe^x - e^x \right]_{-1}^{1} = (e - e) - \left( -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \right) = \frac{2}{e}$
结论：
将两部分结果相加，得
$\int_{-1}^{1} \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} + xe^x \right) dx = 0 + \frac{2}{e} = \frac{2}{e}$
答案： $\boxed{\frac{2}{e}}$
解析
考查要点：本题主要考查定积分的计算技巧，包括奇偶函数在对称区间上的积分性质和分部积分法的应用。
解题核心思路：
- 拆分积分：将原积分拆分为两个部分，分别处理。
- 奇函数性质：第一部分通过判断被积函数为奇函数，直接得出积分值为0。
- 分部积分法：第二部分利用分部积分法计算，注意代入上下限时的符号处理。
破题关键点：
- 识别奇函数：通过变形验证$\frac{1-e^x}{1+e^x}$为奇函数，简化计算。
- 正确应用分部积分：合理选择$u$和$dv$，避免计算错误。
将原积分拆分为两部分：
$\int_{-1}^{1} \left( \frac{1-e^x}{1+e^x} + xe^x \right) dx = \int_{-1}^{1} \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx + \int_{-1}^{1} xe^x \, dx$
第一部分：$\int_{-1}^{1} \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx$
-
判断奇偶性：
- 设$f(x) = \frac{1-e^x}{1+e^x}$，计算$f(-x)$：
$f(-x) = \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} = -\frac{1-e^x}{1+e^x} = -f(x)$ - 因此，$f(x)$是奇函数。
- 设$f(x) = \frac{1-e^x}{1+e^x}$，计算$f(-x)$：
-
对称区间积分性质：
- 奇函数在对称区间$[-1,1]$上的积分值为0：
$\int_{-1}^{1} \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx = 0$
- 奇函数在对称区间$[-1,1]$上的积分值为0：
第二部分：$\int_{-1}^{1} xe^x \, dx$
-
分部积分法：
- 设$u = x$，$dv = e^x \, dx$，则$du = dx$，$v = e^x$。
- 根据分部积分公式：
$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C$
-
代入上下限：
- 计算定积分：
$\int_{-1}^{1} xe^x \, dx = \left[ xe^x - e^x \right]_{-1}^{1}$ - 上限$x=1$：
$(1 \cdot e^1 - e^1) = e - e = 0$ - 下限$x=-1$：
$(-1 \cdot e^{-1} - e^{-1}) = -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}$ - 结果：
$0 - \left( -\frac{2}{e} \right) = \frac{2}{e}$
- 计算定积分：