六.(10分)求函数=(x-1)(e)^dfrac (pi {2)+arctan x}的单调区间和极值。

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，涉及导数的计算、导数符号分析以及极值的判定。

解题核心思路：

1. 求导：正确计算函数的导数，注意处理复合函数和乘积法则。
2. 求驻点：令导数为零，解方程得到可能的极值点。
3. 分析导数符号：通过导数的符号变化确定函数的单调区间。
4. 判定极值：根据导数在驻点处的符号变化，判断极大值或极小值。

破题关键点：

• 正确处理指数函数：函数中的指数部分为$\frac{\pi}{2} + \arctan x$，需注意链式法则的应用。
• 导数的化简：将导数表达式化简为$\frac{x(x+1)}{1+x^2} e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x}$，从而快速判断符号。

函数形式修正：原题中函数应为$y = (x-1)e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x}$（题目可能存在排版错误）。

1. 求导

对$y = (x-1)e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x}$求导：

• 乘积法则：$y' = (x-1)' e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x} + (x-1) \cdot \left(e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x}\right)'$
• 链式法则：$\left(e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x}\right)' = e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$
• 化简：
  $y' = e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x} \left[1 + \frac{x-1}{1+x^2}\right] = \frac{x(x+1)}{1+x^2} e^{\frac{\pi}{2} + \arctan x}$

2. 求驻点

令$y' = 0$，解得$x = 0$或$x = -1$。

3. 分析导数符号

• 当$x < -1$时：$x(x+1) > 0$，$y' > 0$，函数递增。
• 当$-1 < x < 0$时：$x(x+1) < 0$，$y' < 0$，函数递减。
• 当$x > 0$时：$x(x+1) > 0$，$y' > 0$，函数递增。

4. 判定极值

• $x = -1$：导数由正变负，为极大值点，$f(-1) = -2e^{\pi/4}$。
• $x = 0$：导数由负变正，为极小值点，$f(0) = -e^{\pi/2}$。