计算下列定积分: (12) (int )_(1)^4dfrac (dx)(1+sqrt {x)};

步骤 1：换元
令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u\,du$。当 $x = 1$ 时，$u = 1$；当 $x = 4$ 时，$u = 2$。因此，原积分变为：
$$
{\int }_{1}^{4}\dfrac {dx}{1+\sqrt {x}} = {\int }_{1}^{2}\dfrac {2u\,du}{1+u}
$$
步骤 2：分解
将被积函数分解为：
$$
\dfrac {2u}{1+u} = 2 - \dfrac {2}{1+u}
$$
步骤 3：积分
对分解后的函数进行积分：
$$
{\int }_{1}^{2}\left(2 - \dfrac {2}{1+u}\right)du = 2{\int }_{1}^{2}du - 2{\int }_{1}^{2}\dfrac {1}{1+u}du
$$
步骤 4：计算
计算两个积分：
$$
2{\int }_{1}^{2}du = 2[u]_{1}^{2} = 2(2 - 1) = 2
$$
$$
-2{\int }_{1}^{2}\dfrac {1}{1+u}du = -2[\ln|1+u|]_{1}^{2} = -2(\ln 3 - \ln 2) = -2\ln \dfrac{3}{2}
$$
步骤 5：合并
将两个积分的结果合并：
$$
2 - 2\ln \dfrac{3}{2} = 2 + 2\ln \dfrac{2}{3}
$$