二、填空题1.已知函数z=e^xy，则在（2，1）处的全微分dz=____

本题考查多元函数全微分的计算。解题思路是先求出函数$z = e^{xy}$关于$x$和$y$的偏导数，再将点$(2,1)$代入偏导数中求出该点处的偏导数值，最后根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$计算出在点$(2,1)$处的全微分。

1. 求$z$关于$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$：
   把$y$看作常数，对$z = e^{xy}$关于$x$求导，根据复合函数求导法则$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，这里$u = xy$，$u^\prime_y=y$，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (e^{xy})}{\partial x}=e^{xy}\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial x}=ye^{xy}$
2. 求$z$关于$y$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$：
   把$x$看作常数，对$z = e^{xy}$关于$y$求导，同样根据复合函数求导法则，这里$u = xy$，$u^\prime_x=x$，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (e^{xy})}{\partial y}=e^{xy}\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial y}=xe^{xy}$
3. 将点$(2,1)$代入偏导数中：
   把$x = 2$，$y = 1$代入$\frac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}$，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(2,1)}=1\times e^{2\times1}=e^2$
   把$x = 2$，$y = 1$代入$\frac{\partial z}{\partial y}=xe^{xy}$，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(2,1)}=2\times e^{2\times1}=2e^2$
4. 计算全微分$dz$：
   根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(2,1)}=e^2$和$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(2,1)}=2e^2$代入可得：
   $dz\big|_{(2,1)}=e^2dx + 2e^2dy$