题目
函数V(x,y)=x^2+y^2是一个()V函数。A. 常正的B. 正定的C. 负定的D. 常负的
函数$V(x,y)=x^2+y^2$是一个()V函数。
A. 常正的
B. 正定的
C. 负定的
D. 常负的
题目解答
答案
B. 正定的
解析
步骤 1：理解函数
函数 $V(x, y) = x^2 + y^2$ 是 $x$ 和 $y$ 的平方和。由于平方项总是非负的，这意味着对于任何实数 $x$ 和 $y$，有 $x^2 \geq 0$ 和 $y^2 \geq 0$。
步骤 2：在原点的值
在 $x = 0$ 和 $y = 0$ 时，函数的值为：
\[ V(0, 0) = 0^2 + 0^2 = 0 \]
所以，函数在原点处为零。
步骤 3：在原点外的值
对于任何其他 $x$ 和 $y$ 的值（即，$x \neq 0$ 或 $y \neq 0$），函数的值为：
\[ V(x, y) = x^2 + y^2 > 0 \]
因为两个非负数的和，其中至少有一个数为正，结果为正。
步骤 4：结论
从上述分析中，我们可以得出结论，函数 $V(x, y) = x^2 + y^2$ 对于所有 $(x, y) \neq (0, 0)$ 为正，而在原点 $(x, y) = (0, 0)$ 处为零。这符合正定函数的定义。
函数 $V(x, y) = x^2 + y^2$ 是 $x$ 和 $y$ 的平方和。由于平方项总是非负的，这意味着对于任何实数 $x$ 和 $y$，有 $x^2 \geq 0$ 和 $y^2 \geq 0$。
步骤 2：在原点的值
在 $x = 0$ 和 $y = 0$ 时，函数的值为：
\[ V(0, 0) = 0^2 + 0^2 = 0 \]
所以，函数在原点处为零。
步骤 3：在原点外的值
对于任何其他 $x$ 和 $y$ 的值（即，$x \neq 0$ 或 $y \neq 0$），函数的值为：
\[ V(x, y) = x^2 + y^2 > 0 \]
因为两个非负数的和，其中至少有一个数为正，结果为正。
步骤 4：结论
从上述分析中，我们可以得出结论，函数 $V(x, y) = x^2 + y^2$ 对于所有 $(x, y) \neq (0, 0)$ 为正，而在原点 $(x, y) = (0, 0)$ 处为零。这符合正定函数的定义。