题目
7、曲面xyz=a³(a>0)的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=（）.A. (3)/(2)a^3；B. 3a^3；C. (9)/(2)a^3；D. 6a^3.
7、曲面xyz=a³(a>0)的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=（）.
A. $\frac{3}{2}a^{3}$；
B. $3a^{3}$；
C. $\frac{9}{2}a^{3}$；
D. $6a^{3}$.
题目解答
答案
C. $\frac{9}{2}a^{3}$；
解析
步骤 1：确定切点
设曲面上点 $(x_0, y_0, z_0)$ 满足 $x_0 y_0 z_0 = a^3$。
步骤 2：求切平面方程
曲面 $xyz = a^3$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为：\[ y_0 z_0 (x - x_0) + x_0 z_0 (y - y_0) + x_0 y_0 (z - z_0) = 0. \]
步骤 3：化简切平面方程
化简得：\[ y_0 z_0 x + x_0 z_0 y + x_0 y_0 z = 3a^3. \]
步骤 4：求切平面与坐标轴的截距
切平面与 $x$ 轴的截距为 $x = 3x_0$，与 $y$ 轴的截距为 $y = 3y_0$，与 $z$ 轴的截距为 $z = 3z_0$。
步骤 5：计算四面体体积
四面体体积为：\[ V = \frac{1}{6} \times 3x_0 \times 3y_0 \times 3z_0 = \frac{27}{6} a^3 = \frac{9}{2} a^3. \]
设曲面上点 $(x_0, y_0, z_0)$ 满足 $x_0 y_0 z_0 = a^3$。
步骤 2：求切平面方程
曲面 $xyz = a^3$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处的切平面方程为：\[ y_0 z_0 (x - x_0) + x_0 z_0 (y - y_0) + x_0 y_0 (z - z_0) = 0. \]
步骤 3：化简切平面方程
化简得：\[ y_0 z_0 x + x_0 z_0 y + x_0 y_0 z = 3a^3. \]
步骤 4：求切平面与坐标轴的截距
切平面与 $x$ 轴的截距为 $x = 3x_0$，与 $y$ 轴的截距为 $y = 3y_0$，与 $z$ 轴的截距为 $z = 3z_0$。
步骤 5：计算四面体体积
四面体体积为：\[ V = \frac{1}{6} \times 3x_0 \times 3y_0 \times 3z_0 = \frac{27}{6} a^3 = \frac{9}{2} a^3. \]