题目
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数,并确定排列的-|||-奇偶性:-|||-(1)3617254;-|||-(2)891476235;-|||-(3) (2n+1)(2n-1)... 531.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算排列 (1) 3617254 的逆序数
排列 3617254 中，3 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；6 之前的数字有 3，逆序数为 1；1 之前的数字有 3 和 6，逆序数为 2；7 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；2 之前的数字有 3、6 和 1，逆序数为 3；5 之前的数字有 3、6 和 1，逆序数为 3；4 之前的数字有 3、6、1 和 2，逆序数为 4。因此，排列 3617254 的逆序数为 0+1+2+0+3+3+4=13，为奇排列。
步骤 2：计算排列 (2) 891476235 的逆序数
排列 891476235 中，8 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；9 之前的数字有 8，逆序数为 1；1 之前的数字有 8 和 9，逆序数为 2；4 之前的数字有 8 和 9，逆序数为 2；7 之前的数字有 8 和 9，逆序数为 2；6 之前的数字有 8、9 和 4，逆序数为 3；2 之前的数字有 8、9、4 和 1，逆序数为 4；3 之前的数字有 8、9、4、7 和 1，逆序数为 5；5 之前的数字有 8、9、4、7、6 和 1，逆序数为 6。因此，排列 891476235 的逆序数为 0+1+2+2+2+3+4+5+6=25，为奇排列。
步骤 3：计算排列 (3) $(2n+1)(2n-1)\cdots 531$ 的逆序数
排列 $(2n+1)(2n-1)\cdots 531$ 中，$(2n+1)$ 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；$(2n-1)$ 之前的数字有 $(2n+1)$，逆序数为 1；$(2n-3)$ 之前的数字有 $(2n+1)$ 和 $(2n-1)$，逆序数为 2；以此类推，直到 1 之前的数字有 $(2n+1)$、$(2n-1)$、$(2n-3)$、$\cdots$、3，逆序数为 $n$。因此，排列 $(2n+1)(2n-1)\cdots 531$ 的逆序数为 $0+1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。当 $n=4k$ 或 $n=4k+1$ 时，$\dfrac{n(n+1)}{2}$ 为偶数，排列为偶排列；当 $n=4k+2$ 或 $n=4k+3$ 时，$\dfrac{n(n+1)}{2}$ 为奇数，排列为奇排列。
排列 3617254 中，3 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；6 之前的数字有 3，逆序数为 1；1 之前的数字有 3 和 6，逆序数为 2；7 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；2 之前的数字有 3、6 和 1，逆序数为 3；5 之前的数字有 3、6 和 1，逆序数为 3；4 之前的数字有 3、6、1 和 2，逆序数为 4。因此，排列 3617254 的逆序数为 0+1+2+0+3+3+4=13，为奇排列。
步骤 2：计算排列 (2) 891476235 的逆序数
排列 891476235 中，8 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；9 之前的数字有 8，逆序数为 1；1 之前的数字有 8 和 9，逆序数为 2；4 之前的数字有 8 和 9，逆序数为 2；7 之前的数字有 8 和 9，逆序数为 2；6 之前的数字有 8、9 和 4，逆序数为 3；2 之前的数字有 8、9、4 和 1，逆序数为 4；3 之前的数字有 8、9、4、7 和 1，逆序数为 5；5 之前的数字有 8、9、4、7、6 和 1，逆序数为 6。因此，排列 891476235 的逆序数为 0+1+2+2+2+3+4+5+6=25，为奇排列。
步骤 3：计算排列 (3) $(2n+1)(2n-1)\cdots 531$ 的逆序数
排列 $(2n+1)(2n-1)\cdots 531$ 中，$(2n+1)$ 之前的数字没有比它小的，逆序数为 0；$(2n-1)$ 之前的数字有 $(2n+1)$，逆序数为 1；$(2n-3)$ 之前的数字有 $(2n+1)$ 和 $(2n-1)$，逆序数为 2；以此类推，直到 1 之前的数字有 $(2n+1)$、$(2n-1)$、$(2n-3)$、$\cdots$、3，逆序数为 $n$。因此，排列 $(2n+1)(2n-1)\cdots 531$ 的逆序数为 $0+1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。当 $n=4k$ 或 $n=4k+1$ 时，$\dfrac{n(n+1)}{2}$ 为偶数，排列为偶排列；当 $n=4k+2$ 或 $n=4k+3$ 时，$\dfrac{n(n+1)}{2}$ 为奇数，排列为奇排列。