题目

23、一阶线性微分方程 y'+(y)/(x)=x^2 满足初始条件 y|_(x=2)=5 的特解是（）。

23、一阶线性微分方程 $y'+\frac{y}{x}=x^{2}$ 满足初始条件 $y|_{x=2}=5$ 的特解是（）。

题目解答

答案

一阶线性微分方程 $y' + \frac{y}{x} = x^2$ 的通解为： \[ y = e^{-\int \frac{1}{x} \, dx} \left[ \int x^2 e^{\int \frac{1}{x} \, dx} \, dx + C \right] \] 计算得： \[ e^{\int \frac{1}{x} \, dx} = x, \quad e^{-\int \frac{1}{x} \, dx} = \frac{1}{x} \] 代入得： \[ y = \frac{1}{x} \left[ \int x^3 \, dx + C \right] = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x} \] 由初始条件 $y|_{x=2} = 5$： \[ 5 = \frac{2^3}{4} + \frac{C}{2} \implies C = 6 \] 特解为： \[ \boxed{y = \frac{x^3}{4} + \frac{6}{x}} \]

解析

本题考查一阶线性微分方程的求解，解题思路是先根据一阶线性微分方程的通解公式求出通解，再将初始条件代入通解中求出特解。

  1. 确定一阶线性微分方程的通解公式：
    对于一阶线性微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$，其通解公式为$y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right]$。
    在方程$y'+\frac{y}{x}=x^{2}$中，$P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=x^{2}$。
  2. 计算$e^{\int P(x)dx}$和$e^{-\int P(x)dx}$：
    • 计算$\int P(x)dx$，即$\int \frac{1}{x}dx$，根据积分公式$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|$，可得$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|$。
    • 那么$e^{\int \frac{1}{x}dx}=e^{\ln|x|}=|x|$，因为在本题中$x$在分母位置，默认$x\neq0$，且后续计算中$x$的正负不影响结果，所以取$e^{\int \frac{1}{x}dx}=x$。
    • 进而$e^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{1}{e^{\int \frac{1}{x}dx}}=\frac{1}{x}$。
  3. 将$e^{\int P(x)dx}$和$e^{-\int P(x)dx}$代入通解公式求通解：
    把$e^{\int \frac{1}{x}dx}=x$，$e^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}$，$Q(x)=x^{2}$代入通解公式$y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x) e^{\int P(x)dx} dx + C \right]$，可得：
    $y = \frac{1}{x} \left[ \int x^{2} \cdot x dx + C \right]=\frac{1}{x} \left[ \int x^{3} dx + C \right]$
    根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，计算$\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}+C_1$（$C_1$为常数），则：
    $y = \frac{1}{x} \left( \frac{x^{4}}{4} + C \right)=\frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}$
  4. 利用初始条件求特解：
    已知初始条件$y|_{x = 2} = 5$，将$x = 2$，$y = 5$代入通解$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}$中，得到：
    $5 = \frac{2^{3}}{4} + \frac{C}{2}$
    即$5 = 2 + \frac{C}{2}$，移项可得$\frac{C}{2}=5 - 2 = 3$，解得$C = 6$。
    把$C = 6$代入通解$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}$中，得到特解为$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{6}{x}$。