5、将函数f(x)=x^2(0le xle 1)展开成正弦级数，其和函数为s(x)=sum_(n=1)^inftyb_(n)sin npi x,-infty<+infty,<|im_end|>中b_(n)=2int_(0)^1f(x)sin npi xdx,n=1,2,...，则S((7)/(2))=_____.
题目解答
答案
根据题目给出的信息，我们需要求函数 $f(x) = x^2$ ($0 \le x \le 1$) 展开成正弦级数后的和函数 $s(x)$ 在 $x = \frac{7}{2}$ 处的值。
第一步：理解正弦级数展开的性质
题目指出 $f(x)$ 展开成正弦级数 $s(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\pi x$，且系数 $b_n = 2\int_0^1 f(x)\sin n\pi x dx$。
这表明 $s(x)$ 是将原函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上进行奇延拓到区间 $[-1, 1]$，然后再进行周期延拓得到的周期函数。
- 由于是正弦级数，基函数 $\sin n\pi x$ 的周期为 $T = \frac{2\pi}{n\pi} = \frac{2}{n}$，所以整个级数的基本周期是 $T = 2$。
- 在区间 $[0, 1]$ 上，原函数 $f(x) = x^2$。
- 在区间 $[-1, 0)$ 上，由于是奇延拓，$f(x) = -f(-x) = -(-x)^2 = -x^2$。
第二步：利用周期性和奇偶性化简求值点
我们需要计算 $s\left(\frac{7}{2}\right)$。
已知 $s(x)$ 是一个周期为 $2$ 的函数，即 $s(x + 2k) = s(x)$，其中 $k$ 为整数。
同时，$s(x)$ 是一个奇函数（因为它是正弦级数），即 $s(-x) = -s(x)$。
我们将 $x = \frac{7}{2}$ 转化到基本周期区间 $(-1, 1)$ 内：
$\frac{7}{2} = 3.5$
利用周期 $T = 2$：
$s\left(\frac{7}{2}\right) = s\left(\frac{7}{2} - 2 \times 2\right) = s\left(\frac{7}{2} - 4\right) = s\left(-\frac{1}{2}\right)$
第三步：计算具体数值
现在我们只需要求 $s\left(-\frac{1}{2}\right)$。
因为 $s(x)$ 是奇函数，所以：
$s\left(-\frac{1}{2}\right) = -s\left(\frac{1}{2}\right)$
点 $x = \frac{1}{2}$ 位于区间 $(0, 1)$ 内。在开区间 $(0, 1)$ 内，和函数 $s(x)$ 收敛于原函数 $f(x) = x^2$（因为 $f(x)$ 在该区间连续）。
因此：
$s\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
代回前面的式子：
$s\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$
综上所述，$s\left(\frac{7}{2}\right) = -\frac{1}{4}$。
最终答案：
$-\frac{1}{4}$
解析
本题考查函数展开成正弦级数的性质以及利用周期性和奇偶性求级数和函数的值。解题思路如下：
- 首先明确函数$f(x)=x^{2}(0\leq x\leq 1)$展开成正弦级数$s(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}\sin n\pi x$的性质，$s(x)$是将$f(x)$在区间$[0, 1]$上进行奇延拓到区间$[-1, 1]$，再进行周期延拓得到的周期函数，且基函数$\sin n\pi x$的周期$T=\frac{2\pi}{n\pi}=2$，所以$s(x)$的周期为$2$。在区间$[0, 1]$上，$f(x)=x^{2}$；在区间$[-1, 0)$上，$f(x)= -f(-x)= -(-x)^{2}=-x^{2}$。
- 然后利用$s(x)$的周期性$s(x + 2k)=s(x)$（$k$为整数）将$x = \frac{7}{2}$转化到基本周期区间$(-1, 1)$内：
- 因为$\frac{7}{2}=3.5$，所以$s(\frac{7}{2})=s(\frac{7}{2}-2\times2)=s(\frac{7}{2}-4)=s(-\frac{1}{2})$。
- 接着利用$s(x)$的奇偶性$s(-x)= -s(x)$进一步化简：
- 可得$s(-\frac{1}{2})=-s(\frac{1}{2})$。
- 最后，由于点$x = \frac{1}{2}$位于区间$(0, 1)$内，在开区间$(0, 1)$内，和函数$s(x)$收敛于原函数$f(x)=x^{2}$（因为$f(x)$在该区间连续），所以$s(\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})$。
- 计算$f(\frac{1}{2})$：根据$f(x)=x^{2}$，将$x = \frac{1}{2}$代入可得$f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$。
- 那么$s(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$，即$s(\frac{7}{2})=-\frac{1}{4}$。