题目
1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换定理的条件，当f(t)为偶函数时，有f(t)=int_(0)^+inftya(omega)cosomega t domega,其中a(omega)=(2)/(pi)int_(0)^+inftyf(t)cosomega t dt.
1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换定理的条件，当f(t)为偶函数时，有
$f(t)=\int_{0}^{+\infty}a(\omega)\cos\omega t d\omega,$
其中
$a(\omega)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}f(t)\cos\omega t dt.$
题目解答
答案
由傅里叶积分公式，对于偶函数 $ f(t) $，有
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} \, dx \, e^{i\omega t} \, d\omega. \]
利用 $ e^{-i\omega x} = \cos \omega x - i \sin \omega x $ 和 $ e^{i\omega t} = \cos \omega t + i \sin \omega t $，展开并注意到 $ f(x) \sin \omega x $ 的积分为零（因 $ f(x) $ 偶），得
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos \omega (x - t) \, dx \, d\omega. \]
转换积分区间为 $ (0, +\infty) $ 并利用余弦函数的偶性，得
\[ f(t) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \cos \omega t \left[ \int_{0}^{+\infty} f(x) \cos \omega x \, dx \right] \, d\omega. \]
令
\[ a(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} f(x) \cos \omega x \, dx, \]
则
\[ \boxed{f(t) = \int_{0}^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t \, d\omega, \quad a(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} f(t) \cos \omega t \, dt}. \]
解析
步骤 1：利用傅里叶积分公式
对于偶函数 $f(t)$，傅里叶积分公式为 \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} \, dx \, e^{i\omega t} \, d\omega. \]
步骤 2：展开复指数函数
利用 $e^{-i\omega x} = \cos \omega x - i \sin \omega x$ 和 $e^{i\omega t} = \cos \omega t + i \sin \omega t$，展开上述积分，注意到 $f(x) \sin \omega x$ 的积分为零（因 $f(x)$ 偶），得 \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos \omega (x - t) \, dx \, d\omega. \]
步骤 3：转换积分区间
转换积分区间为 $(0, +\infty)$ 并利用余弦函数的偶性，得 \[ f(t) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \cos \omega t \left[ \int_{0}^{+\infty} f(x) \cos \omega x \, dx \right] \, d\omega. \]
步骤 4：定义 $a(\omega)$
令 \[ a(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} f(x) \cos \omega x \, dx, \] 则 \[ f(t) = \int_{0}^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t \, d\omega. \]
对于偶函数 $f(t)$，傅里叶积分公式为 \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} \, dx \, e^{i\omega t} \, d\omega. \]
步骤 2：展开复指数函数
利用 $e^{-i\omega x} = \cos \omega x - i \sin \omega x$ 和 $e^{i\omega t} = \cos \omega t + i \sin \omega t$，展开上述积分，注意到 $f(x) \sin \omega x$ 的积分为零（因 $f(x)$ 偶），得 \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos \omega (x - t) \, dx \, d\omega. \]
步骤 3：转换积分区间
转换积分区间为 $(0, +\infty)$ 并利用余弦函数的偶性，得 \[ f(t) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \cos \omega t \left[ \int_{0}^{+\infty} f(x) \cos \omega x \, dx \right] \, d\omega. \]
步骤 4：定义 $a(\omega)$
令 \[ a(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} f(x) \cos \omega x \, dx, \] 则 \[ f(t) = \int_{0}^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t \, d\omega. \]