[题目]已知f(x)在 x=0 的某个邻域内连续,且-|||-(0)=0, lim _(xarrow 0)dfrac (f(x))(1-cos x)=2, 则在点 x=0 处f(x)()-|||-A.不可导-|||-B.可导,且 (0)neq 0-|||-C.取得极大值-|||-D.取得极小值

考查要点：本题主要考查极限的等价无穷小替换、泰勒展开的应用，以及函数在某点的可导性、极值的判定。

解题核心思路：

1. 利用等价无穷小将分母$1-\cos x$替换为$\frac{1}{2}x^2$，结合极限条件确定$f(x)$在$x=0$附近的展开形式。
2. 通过泰勒展开分析$f(x)$的一阶、二阶导数，判断可导性及极值类型。

破题关键点：

• 等价无穷小替换：将$1-\cos x$近似为$\frac{1}{2}x^2$，简化极限表达式。
• 泰勒展开：根据$f(x)$的展开式推导导数，结合二阶导数符号判断极值。

步骤1：利用等价无穷小化简极限

已知$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{1-\cos x}=2$，当$x\rightarrow 0$时，$1-\cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$，代入得：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{\dfrac{1}{2}x^2}=2 \implies \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x^2}=1.$
因此，在$x=0$附近，$f(x)$可近似为：
$f(x) = x^2 + o(x^2).$

步骤2：求一阶导数$f'(0)$

对$f(x)$求导：
$f'(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x^2 + o(x^2) \right) = 2x + o(x).$
当$x=0$时，$f'(0) = 2 \cdot 0 + o(0) = 0$，故$f(x)$在$x=0$处可导且$f'(0)=0$。

步骤3：求二阶导数判断极值

对$f'(x)$再次求导：
$f''(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( 2x + o(x) \right) = 2 + o(1).$
当$x\rightarrow 0$时，$f''(0) = 2 > 0$，说明在$x=0$处，$f(x)$取得极小值。