题目
7.计算下列各行列式(Dn为n阶行列式):-|||-a 1-|||-(1)Dn= 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0.-|||-1 a7.计算下列各行列式(Dn为n阶行列式):-|||-a 1-|||-(1)Dn= 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0.-|||-1 a
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算行列式 ${D}_{n}$
对于行列式 ${D}_{n} = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}$，我们可以通过行列式的性质进行计算。
步骤 2：行列式展开
我们可以通过行列式的性质，将行列式 ${D}_{n}$ 按第一行展开，得到：
${D}_{n} = a \begin{vmatrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}_{n-1} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}_{n-1}$
步骤 3：递推关系
通过观察，我们可以发现 ${D}_{n}$ 与 ${D}_{n-1}$ 之间存在递推关系：
${D}_{n} = a {D}_{n-1} - {D}_{n-2}$
步骤 4：计算行列式 ${D}_{n}$
根据递推关系，我们可以计算出 ${D}_{n}$ 的值。首先，我们需要计算 ${D}_{1}$ 和 ${D}_{2}$ 的值：
${D}_{1} = a$
${D}_{2} = a^2 - 1$
然后，我们可以使用递推关系计算出 ${D}_{n}$ 的值。
步骤 5：计算行列式 ${D}_{n}$
对于行列式 ${D}_{n} = \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$，我们可以通过行列式的性质进行计算。
步骤 6：行列式展开
我们可以通过行列式的性质，将行列式 ${D}_{n}$ 按第一行展开，得到：
${D}_{n} = x \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}_{n-1} - a \begin{vmatrix} a & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}_{n-1}$
步骤 7：递推关系
通过观察，我们可以发现 ${D}_{n}$ 与 ${D}_{n-1}$ 之间存在递推关系：
${D}_{n} = x {D}_{n-1} - a {D}_{n-2}$
步骤 8：计算行列式 ${D}_{n}$
根据递推关系，我们可以计算出 ${D}_{n}$ 的值。首先，我们需要计算 ${D}_{1}$ 和 ${D}_{2}$ 的值：
${D}_{1} = x$
${D}_{2} = x^2 - a^2$
然后，我们可以使用递推关系计算出 ${D}_{n}$ 的值。
对于行列式 ${D}_{n} = \begin{vmatrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}$，我们可以通过行列式的性质进行计算。
步骤 2：行列式展开
我们可以通过行列式的性质，将行列式 ${D}_{n}$ 按第一行展开，得到：
${D}_{n} = a \begin{vmatrix} a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}_{n-1} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix}_{n-1}$
步骤 3：递推关系
通过观察，我们可以发现 ${D}_{n}$ 与 ${D}_{n-1}$ 之间存在递推关系：
${D}_{n} = a {D}_{n-1} - {D}_{n-2}$
步骤 4：计算行列式 ${D}_{n}$
根据递推关系，我们可以计算出 ${D}_{n}$ 的值。首先，我们需要计算 ${D}_{1}$ 和 ${D}_{2}$ 的值：
${D}_{1} = a$
${D}_{2} = a^2 - 1$
然后，我们可以使用递推关系计算出 ${D}_{n}$ 的值。
步骤 5：计算行列式 ${D}_{n}$
对于行列式 ${D}_{n} = \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$，我们可以通过行列式的性质进行计算。
步骤 6：行列式展开
我们可以通过行列式的性质，将行列式 ${D}_{n}$ 按第一行展开，得到：
${D}_{n} = x \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}_{n-1} - a \begin{vmatrix} a & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}_{n-1}$
步骤 7：递推关系
通过观察，我们可以发现 ${D}_{n}$ 与 ${D}_{n-1}$ 之间存在递推关系：
${D}_{n} = x {D}_{n-1} - a {D}_{n-2}$
步骤 8：计算行列式 ${D}_{n}$
根据递推关系，我们可以计算出 ${D}_{n}$ 的值。首先，我们需要计算 ${D}_{1}$ 和 ${D}_{2}$ 的值：
${D}_{1} = x$
${D}_{2} = x^2 - a^2$
然后，我们可以使用递推关系计算出 ${D}_{n}$ 的值。