题目

5.作一个 3 次多项式 H(x)，使得 H(a)=0，H"(a)=b，H(b)=0，H"(b)=a．__________________________________________________________________________________________

5.作一个 3 次多项式 H(x)，使得 H(a)=0，H"(a)=b，H(b)=0，H"(b)=a．__________________________________________________________________________________________

题目解答

答案

正确答案：(正确答案：由 H(a)=0，H(b)=0，可设 H(x)=(x—a)(x-b)[c 1 (x—a)+c 2 (b—x)]=(x—a)f(x)=(x-b)g(x)，其中 f(x)=(x-b)[c 1 (x—a)+c 2 (b—x)]，g(x)=(x—a)[c 1 (x—a)+c 2 (b—x)]．求导得 H"(x)=2f"(x)+(x—a)f"(x)，H"(a)=2f"(a)=b，H"(x)=2g"(x)+(x—b)g)

解析

考查要点：本题主要考查三次多项式的构造方法，结合给定的根和二阶导数条件，灵活运用多项式因式分解和导数计算。

解题核心思路：

  1. 根的条件：由$H(a)=0$和$H(b)=0$，可知$H(x)$可分解为$(x-a)(x-b)$乘以一个一次多项式。
  2. 二阶导数条件：通过设定一次多项式中的参数，利用二阶导数在$a$和$b$处的值建立方程组，解出参数。

破题关键点：

  • 因式分解：将$H(x)$表示为$(x-a)(x-b)[c_1(x-a)+c_2(b-x)]$，引入参数$c_1$和$c_2$。
  • 导数计算：通过求导并代入$a$和$b$，建立关于$c_1$和$c_2$的方程组。

构造多项式形式
由$H(a)=0$和$H(b)=0$，设三次多项式为：
$H(x) = (x-a)(x-b)[c_1(x-a) + c_2(b-x)]$
其中$c_1$和$c_2$为待定系数。

求导并代入条件

  1. 展开表达式：
    $H(x) = (x-a)(x-b)[(c_1 - c_2)x + (-c_1 a + c_2 b)]$
    令$k = c_1 - c_2$，$m = -c_1 a + c_2 b$，则$H(x) = (x-a)(x-b)(kx + m)$。

  2. 计算二阶导数：
    $H''(x) = 6kx + 2m - 2k(a + b)$

  3. 代入条件：

    • $H''(a) = b$：
      $6k a + 2m - 2k(a + b) = b \implies 4k a - 2k b + 2m = b$
    • $H''(b) = a$：
      $6k b + 2m - 2k(a + b) = a \implies 4k b - 2k a + 2m = a$

  4. 解方程组：
    联立方程得：
    $k = -\frac{1}{6}, \quad m = \frac{a + b}{3}$
    进一步解得：
    $c_1 = \frac{2a + b}{6(b - a)}, \quad c_2 = \frac{a + 2b}{6(a - b)}$

最终形式
将$c_1$和$c_2$代入原式，得到满足条件的三次多项式。