题目

判断题（共5题，25.0分）题型说明：11.（5.0分）int(1)/(x)dx=lnx+C成立。()A 对B 错

判断题（共5题，25.0分） 题型说明： 11.（5.0分）$\int\frac{1}{x}dx=lnx+C$成立。() A 对 B 错

题目解答

答案

$\frac{1}{x}$ 的积分应考虑 $x$ 的正负。 - 当 $x > 0$ 时，$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln x + C$。 - 当 $x < 0$ 时，$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln(-x) + C = \ln|x| + C$。 因此，对于所有 $x \neq 0$，正确的积分形式为： \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \] 原式仅在 $x > 0$ 时成立，故不完全正确。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查不定积分中$\frac{1}{x}$的积分公式。需要注意被积函数$\frac{1}{x}$的定义域为$x\neq0$，需分$x>0$和$x<0$两种情况讨论：

关键分析：

  1. 当$x>0$时：
    此时$\ln x$有意义，导数$(\ln x)'=\frac{1}{x}$，故$\int\frac{1}{x}dx=\ln x+C$成立。

  2. 当$x<0$时：
    此时$\ln x$无意义，但$\ln(-x)$有意义，且导数$[\ln(-x)]'=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$，故$\int\frac{1}{x}dx=\ln(-x)+C$。

  3. 统一表达式：
    对所有$x\neq0$，积分结果应写为$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，而非仅$\ln x+C$。

结论：

题目中“$\int\frac{1}{x}dx=\ln x+C$成立”的表述未考虑$x<0$的情况，不完全正确。