没f(x)在[0,1]上具有二阶导数。且 '(0)=0.没f(x)在[0,1]上具有二阶导数。且 '(0)=0.

步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $G(x) = f'(x)(1-x)^2$，该函数在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导。
步骤 2：计算 $G(0)$ 和 $G(1)$
$G(0) = f'(0)(1-0)^2 = 0$，因为 $f'(0) = 0$。
$G(1) = f'(1)(1-1)^2 = 0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $G(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，且 $G(0) = G(1) = 0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $G'(\xi) = 0$。
步骤 4：计算 $G'(\xi)$
$G'(x) = f''(x)(1-x)^2 - 2f'(x)(1-x)$。
$G'(\xi) = f''(\xi)(1-\xi)^2 - 2f'(\xi)(1-\xi) = 0$。
步骤 5：化简并求解
$f''(\xi)(1-\xi)^2 = 2f'(\xi)(1-\xi)$。
$f''(\xi)(1-\xi) = 2f'(\xi)$。
$f'(\xi) = \dfrac{f''(\xi)(1-\xi)}{2}$。
步骤 6：验证
由于 $f''(\xi)$ 存在，所以 $f'(\xi) = \dfrac{f''(\xi)(1-\xi)}{2}$ 成立，即存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi) = \dfrac{f''(\xi)}{1-\xi}$。