题目
7.(判断题)设A,B为n阶可逆方阵,则(AB)^7=A^7B^7.( )A 对B 错
7.(判断题)设A,B为n阶可逆方阵,则$(AB)^{7}=A^{7}B^{7}$.( )
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断 $(AB)^7 = A^7 B^7$ 是否成立，我们需要考虑矩阵乘法的性质。具体来说，矩阵乘法不一定是可交换的，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。
让我们从矩阵乘法的定义和性质开始。对于任意两个矩阵 $A$ 和 $B$，它们的乘积 $AB$ 由以下公式定义：
\[
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj}
\]
现在，让我们考虑表达式 $(AB)^7$。根据矩阵乘法的定义，$(AB)^7$ 意味着将矩阵 $AB$ 与自身相乘7次：
\[
(AB)^7 = (AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)
\]
为了使 $(AB)^7 = A^7 B^7$ 成立，矩阵 $A$ 和 $B$ 必须是可交换的，即 $AB = BA$。如果 $A$ 和 $B$ 是可交换的，那么我们可以将乘积中的矩阵重新排列，得到：
\[
(AB)^7 = A B A B A B A B A B A B A B = A^7 B^7
\]
然而，如果 $A$ 和 $B$ 不是可交换的，那么我们不能将乘积中的矩阵重新排列，等式 $(AB)^7 = A^7 B^7$ 就不一定成立。
由于题目没有假设 $A$ 和 $B$ 是可交换的，我们不能得出 $(AB)^7 = A^7 B^7$ 的结论。因此，该陈述是错误的。
答案是 $\boxed{B}$。
解析
步骤 1：矩阵乘法的性质
矩阵乘法不一定是可交换的，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。因此，$(AB)^7$ 不一定等于 $A^7 B^7$，除非 $A$ 和 $B$ 是可交换的。
步骤 2：可交换矩阵
如果 $A$ 和 $B$ 是可交换的，即 $AB = BA$，那么 $(AB)^7$ 可以重新排列为 $A^7 B^7$。但是题目中没有给出 $A$ 和 $B$ 是可交换的条件。
步骤 3：结论
由于题目没有假设 $A$ 和 $B$ 是可交换的，我们不能得出 $(AB)^7 = A^7 B^7$ 的结论。因此，该陈述是错误的。
矩阵乘法不一定是可交换的，即 $AB$ 不一定等于 $BA$。因此，$(AB)^7$ 不一定等于 $A^7 B^7$，除非 $A$ 和 $B$ 是可交换的。
步骤 2：可交换矩阵
如果 $A$ 和 $B$ 是可交换的，即 $AB = BA$，那么 $(AB)^7$ 可以重新排列为 $A^7 B^7$。但是题目中没有给出 $A$ 和 $B$ 是可交换的条件。
步骤 3：结论
由于题目没有假设 $A$ 和 $B$ 是可交换的，我们不能得出 $(AB)^7 = A^7 B^7$ 的结论。因此，该陈述是错误的。