题目
设级数 sum_(n=1)^infty (-1)^n (1 - cos (a)/(n)) （常数 a > 0），则（）A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 敛散性与 n 有关
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(1 - \cos \frac{a}{n}\right)$ （常数 $a > 0$），则（）
A. 发散
B. 绝对收敛
C. 条件收敛
D. 敛散性与 $n$ 有关
题目解答
答案
B. 绝对收敛
解析
步骤 1：分析绝对值级数的敛散性
我们首先考虑级数的绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n}(1-\cos\frac{a}{n})| = \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{a}{n})$。当 $n$ 充分大时，$\frac{a}{n}$ 很小，我们可以使用余弦函数的泰勒展开式：\[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \quad \text{当} \quad x \to 0. \] 因此，\[ 1 - \cos\frac{a}{n} \approx 1 - \left(1 - \frac{a^2}{2n^2}\right) = \frac{a^2}{2n^2}. \] 这表明当 $n$ 充分大时，$1 - \cos\frac{a}{n} \sim \frac{a^2}{2n^2}$。由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^2}{2n^2}$ 是一个常数倍的 $p=2$ 的 $p$-级数，而 $p=2 > 1$，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^2}{2n^2}$ 收敛。根据比较判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{a}{n})$ 也收敛。
步骤 2：判断原级数的敛散性
由于绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{a}{n})$ 收敛，所以原级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-\cos\frac{a}{n})$ 绝对收敛。
我们首先考虑级数的绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n}(1-\cos\frac{a}{n})| = \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{a}{n})$。当 $n$ 充分大时，$\frac{a}{n}$ 很小，我们可以使用余弦函数的泰勒展开式：\[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \quad \text{当} \quad x \to 0. \] 因此，\[ 1 - \cos\frac{a}{n} \approx 1 - \left(1 - \frac{a^2}{2n^2}\right) = \frac{a^2}{2n^2}. \] 这表明当 $n$ 充分大时，$1 - \cos\frac{a}{n} \sim \frac{a^2}{2n^2}$。由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^2}{2n^2}$ 是一个常数倍的 $p=2$ 的 $p$-级数，而 $p=2 > 1$，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^2}{2n^2}$ 收敛。根据比较判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{a}{n})$ 也收敛。
步骤 2：判断原级数的敛散性
由于绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{a}{n})$ 收敛，所以原级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-\cos\frac{a}{n})$ 绝对收敛。