28.单选题 将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数为（）A. sum_(n=0)^infty(-1)^n(x^2n+1)/((2n+1)!),xin(-infty,+infty)B. sum_(n=0)^infty(-1)^n(x^2n)/((2n)!),xin(-infty,+infty)C. sum_(n=1)^infty(-1)^n(x^2n+1)/((2n+1)!),xin(-infty,+infty)D. sum_(n=0)^infty(-1)^n+1(x^2n+1)/((2n+1)!),xin(-infty,+infty)

本题考查函数展开成幂级数的知识点，解题思路是利用函数的幂级数展开公式，通过求函数的各阶导数，代入幂级数展开式来得到函数$f(x)=\sin x$的幂级数展开式。

1. 首先明确函数$f(x)$在$x = 0$处的幂级数展开式（麦克劳林级数）公式为：
   • $f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+\cdots$，其中$f^{(n)}(0)$表示$f(x)$的$n$阶导数在$x = 0$处的值。
2. 然后求$f(x)=\sin x$的各阶导数：
   • $f(x)=\sin x$，则$f(0)=\sin 0 = 0$；
   • $f'(x)=\cos x$，所以$f'(0)=\cos 0 = 1$；
   • $f''(x)=-\sin x$，那么$f''(0)=-\sin 0 = 0$；
   • $f'''(x)=-\cos x$，故$f'''(0)=-\cos 0 = -1$；
   • $f^{(4)}(x)=\sin x$，可得$f^{(4)}(0)=\sin 0 = 0$；
   • $f^{(5)}(x)=\cos x$，则$f^{(5)}(0)=\cos 0 = 1$；
   • 以此类推，可以发现$f^{(n)}(x)$的规律：
     • 当$n = 2k$（$k = 0,1,2,\cdots$）时，$f^{(2k)}(0)=0$；
     • 当$n = 2k + 1$（$k = 0,1,2,\cdots$）时，$f^{(2k + 1)}(0)=(-1)^{k}$。
3. 接着将$f^{(n)}(0)$的值代入麦克劳林级数公式：
   • 由于$f^{(2k)}(0)=0$，所以幂级数展开式中$x$的偶次幂项都为$0$，只需要考虑$x$的奇次幂项。
   • 当$n = 2k+1$时，$\frac{f^{(2k + 1)}(0)}{(2k + 1)!}x^{2k + 1}=\frac{(-1)^{k}}{(2k + 1)!}x^{2k + 1}$。
   • 令$n=k$，则$f(x)=\sin x=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$，且该幂级数的收敛区间为$x\in(-\infty,+\infty)$。