2 设f(x)在R上二次连续可微，且对任意的x∈R x∈R，h>0有f(x+h)+f(x-h)-2f(x)≥0.证明：对任意的x∈R，有f"(x)≥0.
题目解答
答案
由题意，$f(x)$在$\mathbb{R}$上二次连续可微，且对任意$x \in \mathbb{R}$和$h > 0$，有
$f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \geq 0.$
利用泰勒展开式，将$f(x+h)$和$f(x-h)$展开至二阶项：
$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2),$
$f(x-h) = f(x) - f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2).$
将两式相加并减去$2f(x)$，得
$f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) = f''(x)h^2 + o(h^2).$
根据题设条件，有
$f''(x)h^2 + o(h^2) \geq 0.$
当$h \to 0$时，$o(h^2)/h^2 \to 0$，故$f''(x) \geq 0$。
因此，对任意$x \in \mathbb{R}$，有$f''(x) \geq 0$。
结论： $f''(x) \geq 0$ 对所有$x \in \mathbb{R}$成立。
解析
本题考察利用泰勒展开证明函数二阶导数非负的问题，核心思路是通过泰勒展开将函数在$x$处的邻域展开，利用已知不等式推导二阶导数的性质。
步骤1：泰勒展开
由于$f(x)$在$\mathbb{R}$上二次连续可微，对任意$x\in\mathbb{R}$和$h>0$，将$f(x+h)$和$f(x-h)$在$x$处展开至二阶项：
$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2)$
$f(x-h) = f(x) - f'(x)h + \frac{1}{2}f''(x)h^2 + o(h^2)$
（泰勒展开中，$o(h^2)$表示高阶无穷小，当$h\to0$时$\frac{o(h^2)}{h^2}\to0$。）
步骤2：相加化简
将两式相加并减去$2f(x)$，消去一阶项和常数项：
$f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) = \left[f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+o(h^2)\right] + \left[f(x)-f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+o(h^2)\right] - 2f(x)$
化简得：
$f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) = f''(x)h^2 + o(h^2)$
步骤3：利用已知不等式推导
由题设$f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \geq 0$，代入上式：
$f''(x)h^2 + o(h^2) \geq 0$
两边同除以$h^2$（$h>0$，不等号方向不变）：
$f''(x) + \frac{o(h^2)}{h^2} \geq 0$
当$h\to0$时，$\frac{o(h^2)}{h^2}\to0$，故：
$f''(x) \geq 0$