题目
把大地可看成均匀的导电介质，电阻率为。一半径为的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，如图所示，电极本身的电阻可忽略。试证明此电极的接地电阻为：。
把大地可看成均匀的导电介质，电阻率为
。一半径为
的球形电极与大地表面相接，半个球体埋在地面下，如图所示，电极本身的电阻可忽略。试证明此电极的接地电阻为：
。
题目解答
答案
证：由于大地中与电流密度垂直的截面是一系列同心半球面。设接地处半径为
，则
取大地中一层半径为
薄半球层，有
等式两边同时积分，可得：
化简可得：
解析
步骤 1：确定电流密度垂直截面
由于大地中与电流密度垂直的截面是一系列同心半球面，设接地处半径为$r$，则截面面积$S$为：
$S=\dfrac {1}{2}(4\pi {r}^{2})=2\pi {r}^{2}$
步骤 2：计算电流通过薄半球层的电阻
取大地中一层半径为$r$到$r+dr$的薄半球层，根据电阻率$\rho$的定义，该层的电阻$dR$为：
$dR=\rho \dfrac {dr}{2\pi {r}^{2}}$
步骤 3：积分求解总电阻
将$dR$对$r$从$a$到$\infty$积分，得到总电阻$R$：
$R=\int_{a}^{\infty}dR=\int_{a}^{\infty}\rho \dfrac {dr}{2\pi {r}^{2}}$
步骤 4：计算积分
计算上述积分，得到：
$R=\dfrac {\rho }{2\pi a}$
由于大地中与电流密度垂直的截面是一系列同心半球面，设接地处半径为$r$，则截面面积$S$为：
$S=\dfrac {1}{2}(4\pi {r}^{2})=2\pi {r}^{2}$
步骤 2：计算电流通过薄半球层的电阻
取大地中一层半径为$r$到$r+dr$的薄半球层，根据电阻率$\rho$的定义，该层的电阻$dR$为：
$dR=\rho \dfrac {dr}{2\pi {r}^{2}}$
步骤 3：积分求解总电阻
将$dR$对$r$从$a$到$\infty$积分，得到总电阻$R$：
$R=\int_{a}^{\infty}dR=\int_{a}^{\infty}\rho \dfrac {dr}{2\pi {r}^{2}}$
步骤 4：计算积分
计算上述积分，得到：
$R=\dfrac {\rho }{2\pi a}$