5.(单选题，11分)设Σ是旋转抛物面z=(1)/(2)(x^2+y^2)介于平面z=0及z=2之间部分的下侧，则iintlimits_(Sigma)(z^2+x)dydz-zdxdy=（）.A. -8πB. 16πC. 8πD. -16π

本题考查利用高斯公式计算曲面积分。解题思路是先补充一个平面使积分曲面封闭，然后利用高斯公式将曲面积分转化为三重积分，最后分别计算三重积分和补充平面上的曲面积分，两者相减得到原曲面积分的值。

步骤一：补充平面并确定封闭曲面

补充平面$\Sigma_1$：$z = 2$，$x^2 + y^2 \leq 4$，取上侧。这样$\Sigma$和$\Sigma_1$就构成了一个封闭曲面$\varOmega$的外侧。

步骤二：利用高斯公式计算封闭曲面上的曲面积分

根据高斯公式$\underset{\varSigma +\varSigma _{1}}{∯}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$，对于$\iint\limits_{\Sigma + \Sigma_1}(z^{2}+x)dydz - zdxdy$，其中$P = z^2 + x$，$Q = 0$，$R = -z$，则$\frac{\partial P}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = 0$，$\frac{\partial R}{\partial z} = -1$。
所以$\underset{\varSigma +\varSigma _{1}}{∯}({z}^{2}+x)dydz - zdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(1 + 0 - 1)dxdydz=\underset{\varOmega }{\iiint }0dxdydz = 0$。

步骤三：计算补充平面$\Sigma_1$上的曲面积分

在平面$\Sigma_1$：$z = 2$，$x^2 + y^2 \leq 4$上，$dz = 0$，则$\iint\limits_{\Sigma_1}(z^{2}+x)dydz - zdxdy = \iint\limits_{\Sigma_1} - 2dxdy$。
利用极坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$，积分区域为$0\leq r\leq 2$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。
则$\iint\limits_{\Sigma_1} - 2dxdy = -2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}rdr$
$=-2\times 2\pi\times[\frac{1}{2}r^2]_0^2$
$=-4\pi\times(2^2 - 0^2)$
$=-16\pi$。

步骤四：计算原曲面积分

因为$\underset{\varSigma +\varSigma _{1}}{∯}({z}^{2}+x)dydz - zdxdy=\iint\limits_{\Sigma}(z^{2}+x)dydz - zdxdy + \iint\limits_{\Sigma_1}(z^{2}+x)dydz - zdxdy = 0$，所以$\iint\limits_{\Sigma}(z^{2}+x)dydz - zdxdy = - \iint\limits_{\Sigma_1}(z^{2}+x)dydz - zdxdy = -(-16\pi) = 16\pi$。