[题目]求出曲线 x=t . =(t)^2 =(t)^3 上的点-|||-使在该点的切线平行于平面 x+2y+z=4

考查要点：本题主要考查空间曲线的切线方向向量与平面法向量的关系，以及如何利用向量点积为零的条件求解参数值。

解题核心思路：

1. 确定曲线的切线方向向量：对参数方程求导得到方向向量。
2. 平面法向量的提取：由平面方程直接写出法向量。
3. 垂直条件应用：切线方向向量与平面法向量点积为零，建立方程求解参数。
4. 代入求点坐标：将解得的参数代入曲线方程得到具体点。

破题关键：正确理解直线与平面平行的几何条件（方向向量与法向量垂直），并准确计算向量点积。

步骤1：求曲线的切线方向向量

曲线参数方程为：
$\begin{cases}x = t \\y = t^2 \\z = t^3\end{cases}$
对参数$t$求导，得切线方向向量：
$\boldsymbol{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \right) = (1, 2t, 3t^2)$

步骤2：确定平面的法向量

平面方程为$x + 2y + z = 4$，其法向量为：
$\boldsymbol{n} = (1, 2, 1)$

步骤3：建立垂直条件方程

切线方向向量与法向量垂直，即点积为零：
$\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} = 1 \cdot 1 + 2t \cdot 2 + 3t^2 \cdot 1 = 0$
化简得：
$3t^2 + 4t + 1 = 0$

步骤4：解二次方程

使用求根公式：
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{-4 \pm 2}{6}$
解得：
$t = -1 \quad \text{或} \quad t = -\frac{1}{3}$

步骤5：代入求点坐标

• 当$t = -1$时：
  $x = -1, \quad y = (-1)^2 = 1, \quad z = (-1)^3 = -1$
  对应点为$(-1, 1, -1)$。

• 当$t = -\dfrac{1}{3}$时：
  $x = -\dfrac{1}{3}, \quad y = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}, \quad z = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = -\dfrac{1}{27}$
  对应点为$\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, -\dfrac{1}{27}\right)$。