题目
(4)设幂级数 sum _(n=0)^infty (a)_(n)(x)^n 在 x=-2 处收敛,则该级数在 x=1 处 ()-|||-(A)发散; (B)条件收敛; (C)绝对收敛; (D) 敛散性不定.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定幂级数的收敛半径
幂级数 ${2}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 在 x=-2 处收敛，说明收敛半径 R 至少为 2，因为收敛半径 R 是使得幂级数收敛的 x 的绝对值的最大值。因此，R ≥ 2。
步骤 2：判断 x=1 处的收敛性
由于 R ≥ 2，所以对于 |x| < R 的所有 x，幂级数都收敛。因为 1 < 2，所以 x=1 在收敛半径内，因此幂级数在 x=1 处绝对收敛。
幂级数 ${2}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 在 x=-2 处收敛，说明收敛半径 R 至少为 2，因为收敛半径 R 是使得幂级数收敛的 x 的绝对值的最大值。因此，R ≥ 2。
步骤 2：判断 x=1 处的收敛性
由于 R ≥ 2，所以对于 |x| < R 的所有 x，幂级数都收敛。因为 1 < 2，所以 x=1 在收敛半径内，因此幂级数在 x=1 处绝对收敛。