例1.3 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 (1)=0, 证明存在点-|||-varepsilon in (0,1), 使得-|||-'(xi )=-dfrac (f(xi ))(s)

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，以及通过构造辅助函数解决微分中值问题的能力。

解题核心思路：
题目要求证明存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = -\dfrac{f(\xi)}{\xi}$。观察等式结构，可以发现其形式类似于某个函数的导数为零的情况。因此，构造适当的辅助函数是关键。通过构造$F(x) = x f(x)$，将原问题转化为应用罗尔定理的条件，从而找到所需的$\xi$。

破题关键点：

1. 构造辅助函数：选择$F(x) = x f(x)$，使得其导数$F'(x)$包含题目中的目标表达式。
2. 验证罗尔定理条件：确认$F(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，且端点处函数值相等（$F(0) = F(1) = 0$）。
3. 应用罗尔定理：直接得出存在$\xi$使得$F'(\xi) = 0$，进而推导出原式。

构造辅助函数
设$F(x) = x f(x)$。

• 连续性：$f(x)$在$[0,1]$上连续，$x$在$[0,1]$上连续，因此$F(x)$在$[0,1]$上连续。
• 可导性：$f(x)$在$(0,1)$内可导，$x$在$(0,1)$内可导，因此$F(x)$在$(0,1)$内可导。
• 端点值：
  • $F(0) = 0 \cdot f(0) = 0$，
  • $F(1) = 1 \cdot f(1) = 0$（由题设$f(1) = 0$）。

应用罗尔定理
根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi) = 0$。
计算$F'(x)$：
$F'(x) = f(x) + x f'(x)$
令$F'(\xi) = 0$，得：
$f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$
整理得：
$f'(\xi) = -\dfrac{f(\xi)}{\xi}$
即证得结论。