设四元齐次线性方程组-|||-I: ) (x)_(1)+(x)_(2)=0 (x)_(2)-(x)_(4)=0 .-|||-求(1)方程组I与Ⅱ的基础解系;(2)I与Ⅱ的公共解.

步骤 1：求方程组I的基础解系
方程组I的系数矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
$$
通过行变换化简为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
$$
由此可得方程组I的基础解系为：
$$
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
$$
和
$$
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求方程组Ⅱ的基础解系
方程组Ⅱ的系数矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
$$
通过行变换化简为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
$$
由此可得方程组Ⅱ的基础解系为：
$$
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
-1
\end{pmatrix}
$$
和
$$
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：求方程组I与Ⅱ的公共解
将方程组I和Ⅱ的方程合并，得到方程组Ⅲ：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 = 0 \\
x_2 - x_4 = 0 \\
x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\
x_2 - x_3 + x_4 = 0
\end{cases}
$$
其系数矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
$$
通过行变换化简为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
由此可得方程组Ⅲ的基础解系为：
$$
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
$$