已知函数f（x）=(({e^x)})/(x)-lnx+x-a.（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．

考查要点：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及构造函数法证明不等式。
解题思路：

1. 第一问：通过求导确定函数的单调区间，找到最小值，进而通过最小值非负求参数范围。
2. 第二问：利用零点存在性定理分析零点位置，构造对称性表达式，结合函数单调性进行放缩。
   关键点：

• 导数法求最值是解决第一问的核心；
• 构造辅助函数并分析其单调性是第二问的破题关键。

第（1）题

求导分析单调性

函数定义域为 $(0,+\infty)$，求导得：
$f'(x) = \frac{(e^x + x)(x - 1)}{x^2}.$
令 $f'(x) > 0$，解得 $x > 1$，故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增。

求最小值

函数在 $x=1$ 处取得最小值：
$f(1) = e + 1 - a.$

确定参数范围

若 $f(x) \geq 0$ 恒成立，只需 $f(1) \geq 0$，即 $a \leq e + 1$。

第（2）题

分析零点位置

由 $f(x)$ 有两个零点，可知 $f(1) = e + 1 - a < 0$，即 $a > e + 1$。设 $0 < x_1 < 1 < x_2$，需证 $x_1 x_2 < 1$。

构造对称性表达式

等价于证明 $x_2 < \frac{1}{x_1}$。因 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单调递增，只需证 $f\left(\frac{1}{x_1}\right) > 0$。

构造辅助函数

定义 $h(x) = f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right)$，分析其导数：
$h'(x) = \frac{(x - 1)(e^x + x - x e^{1/x} - 1)}{x^2}.$
进一步构造 $m(x) = e^x + x - x e^{1/x} - 1$，分析得 $m(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递增且 $m(x) < 0$，故 $h'(x) > 0$，即 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 单调递增。

得出结论

由 $h(1) = 0$ 且 $h(x) < 0$ 在 $(0,1)$ 内，得 $f(x_1) < f\left(\frac{1}{x_1}\right)$，结合单调性可证 $x_1 x_2 < 1$。