[题目]当 arrow 0 时,下列4个无穷小量中比-|||-其它3个更高阶的无穷小量是 ()-|||-A. ln (1+x)-|||-B. ^x-1-|||-C. tan x-sin x-|||-D. https:/img.zuoyebang.cc/zyb_32d6ac9bdcdf63744db2091d2a8c2b19.jpg-cos x

考查要点：本题主要考查无穷小量阶数的比较，需要掌握泰勒展开或利用极限定义判断无穷小的阶数。

解题核心思路：

1. 高阶无穷小的定义：若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^n} = C$（$C$ 为非零常数），则 $f(x)$ 是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小。
2. 关键方法：对每个选项展开为泰勒多项式，找到首项的次数，从而确定阶数。
3. 破题关键：正确展开各选项的泰勒式，尤其注意 $\tan x - \sin x$ 的展开细节。

选项分析

A. $\ln(1+x)$

泰勒展开：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$
首项为 $x$，阶数为 1。

B. $e^x - 1$

泰勒展开：$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$
首项为 $x$，阶数为 1。

C. $\tan x - \sin x$

1. 展开 $\tan x$ 和 $\sin x$：
   • $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$
   • $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$
2. 相减：
   $\tan x - \sin x = \left(x + \frac{x^3}{3}\right) - \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = \frac{x^3}{2}$
   首项为 $x^3$，阶数为 3。

D. $1 - \cos x$

泰勒展开：$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots$
首项为 $x^2$，阶数为 2。

结论：选项 C 的阶数最高（3 阶），因此是更高阶的无穷小。