题目
11.（4.0分）函数z=x^2+(x)/(y)的全微分dz=____
11.（4.0分）函数$z=x^{2}+\frac{x}{y}$的全微分dz=____
题目解答
答案
计算函数 $ z = x^2 + \frac{x}{y} $ 的全微分 $ dz $：
1. 求偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + \frac{1}{y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}
\]
2. 写出全微分：
\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = \left( 2x + \frac{1}{y} \right) dx - \frac{x}{y^2} dy
\]
**答案：**
\[
\boxed{\left( 2x + \frac{1}{y} \right) dx - \frac{x}{y^2} dy}
\]
解析
步骤 1：求偏导数
对函数 $z = x^2 + \frac{x}{y}$，分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数。
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} \]
步骤 2：写出全微分
根据全微分的定义，$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$，将步骤 1 中求得的偏导数代入。
\[ dz = \left( 2x + \frac{1}{y} \right) dx - \frac{x}{y^2} dy \]
对函数 $z = x^2 + \frac{x}{y}$，分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数。
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + \frac{1}{y} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2} \]
步骤 2：写出全微分
根据全微分的定义，$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$，将步骤 1 中求得的偏导数代入。
\[ dz = \left( 2x + \frac{1}{y} \right) dx - \frac{x}{y^2} dy \]