已知抛物线C：x^2 =2py(p > 0)的焦点为F，且F与圆M：x^2 + (y+4)^2 =1上点的距离的最小值为4。(1)求p。(2)若点P在M上，PA、PB是C的两条切线，A、B是切点，求triangle PAB面积的最大值。

(1)由题意$$M(0, -4)$$，$$F(0, {p\over 2})$$，$$r =1$$，$$|MF| -r = 4$$，

所以$${p\over 2} + 4= 5$$，

所以$$p = 2$$。

(2)由(1)可得$$C$$的方程为$$x^2= 4y$$，

因为点$$P$$在圆$$M$$：$$x^2 + (y+4)^2 =1$$上，

所以设$$P(\cos\theta, \sin \theta -4)$$，

由题意，过点$$P$$的$$C$$的切线的斜率存在，故设切线的方程为$$y = k(x-\cos\theta) + \sin\theta -4$$，

联立$$\left\{\eqalign{&x^2 =4y \cr&y = k(x-\cos\theta) + \sin\theta -4\cr}\right. $$得到$$x^2 -4kx + 4k\cos\theta -4\sin\theta + 16 =0$$，

所以$$\Delta = 16k^2 -4(4k\cos\theta -4\sin\theta + 16) = 0$$，

所以$$k^2 - k\cos\theta+ \sin\theta -4 = 0$$，

设直线$$PA$$的斜率为$$k_1$$，直线$$PB$$的斜率为$$k_2$$，

所以$$k_1 + k_2 = \cos\theta$$，$$k_1k_2 = \sin\theta -4$$，

所以$$P(k_1 + k_2, k_1k_2)$$，

对于方程$$x^2 -4kx + 4k\cos\theta -4\sin\theta + 16 =0$$，根据其有两个相等的实根可得：$$2x_A = 4k_1$$，$$2x_B =4k_2$$，

所以$$x_A =2k_1$$，$$x_B =2k_2$$，

所以$$A(2k_1, k_1^2)$$，$$B(2k_2, k_2^2)$$，

所以$$k_{AB} = {k_2^2 -k_1^2\over 2k_2 -2k_1} = {k_1 + k_2\over 2}$$，

所以直线$$AB$$的方程为$$y = {k_1 +k_2\over 2}(x- 2k_1) + k_1^2$$，

设点$$P(k_1 + k_2, k_1k_2)$$到$$AB$$的距离为$$d$$，

所以$$d = {\left|\displaystyle{k_1 + k_2\over 2} (k_1 + k_2 -2k_1) + k_1^2 -k_1k_2\right|\over \sqrt{1 + (\displaystyle{k_1 + k_2\over 2})^2}}$$

$$= {\displaystyle{(k_2-k_1)^2\over 2}\over \sqrt{1+ \displaystyle{\cos^2\theta\over 4}}}$$

$$= {(k_1-k_2)^2\over \sqrt{\cos^2\theta + 4}}$$，

因为$$|AB| = \sqrt{(k_2^2-k_1^2)^2 + (2k_2-2k_1)^2}$$

$$=\sqrt{(k_1+k_2)^2+4}|k_2-k_1|$$

$$=\sqrt{\cos^2\theta + 4}|k_2-k_1|$$，

所以$$S_{\triangle PAB} = {1\over 2}|AB|\cdot d $$$$= {|k_2-k_1|^3\over 2}$$，

因为$$|k_2-k_1| = \sqrt{(k_1 + k_2)^2 -4k_1k_2}$$

$$= \sqrt{\cos^2\theta -4(\sin\theta -4)}$$

$$=\sqrt{-\sin^2\theta -4\sin\theta + 17}$$

$$=\sqrt{-(\sin\theta + 2)^2 + 21}$$，

所以当$$\sin\theta = -1$$时，$$|k_2-k_1|$$取得最大值$$2\sqrt5$$，

所以$$(S_{\triangle PAB})_{\max}= {(2\sqrt5)^3\over 2} = 20\sqrt5$$，

即$$\triangle PAB$$面积的最大值为$$20\sqrt5$$。