题目
10 单选 (3分) 设∑是抛物面z=x²+y²(0≤z≤1)，取下侧，则曲面积分 iint_(Sigma)(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy=（）. A.-(3pi)/(2) B.(3pi)/(2) C.(pi)/(2) D.-(pi)/(2)
10 单选 (3分) 设∑是抛物面z=x²+y²(0≤z≤1)，取下侧，则曲面积分 $\iint_{\Sigma}(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy=（）.$
A.$-\frac{3\pi}{2}$
B.$\frac{3\pi}{2}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$-\frac{\pi}{2}$
A.$-\frac{3\pi}{2}$
B.$\frac{3\pi}{2}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$-\frac{\pi}{2}$
题目解答
答案
设曲面 $\Sigma$ 为 $z = x^2 + y^2$（$0 \leq z \leq 1$），取下侧。补平面 $\Sigma_1: z = 1$（上侧），构成闭合曲面。由高斯公式，闭合曲面积分等于零。
原积分等于平面 $\Sigma_1$ 上积分的相反数：
\[
\iint_{\Sigma_1} (x + 2) \, dxdy = 2\pi.
\]
但考虑侧向性，原积分应为：
\[
\iint_{\Sigma} = \frac{\pi}{2}.
\]
**答案：** $\boxed{\frac{\pi}{2}}$