设二维随机变量((X)^6X)的概率密度为((X)^6X)，求：（1）((X)^6X)；（2）数学期望((X)^6X)；（3）协方差((X)^6X)和相关系数((X)^6X).

考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度、数学期望、协方差及相关系数的计算，以及随机变量独立性的判断。

解题思路：

1. 概率计算：通过二重积分计算区域概率，需明确积分区域（由不等式$x+y \leq 1$确定的三角形区域）。
2. 边缘概率密度：对联合密度函数分别关于$x$和$y$积分，得到$f_X(x)$和$f_Y(y)$。
3. 数学期望：利用边缘密度计算$E(X)$和$E(Y)$，若随机变量独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$。
4. 协方差与相关系数：利用独立性直接得出协方差为$0$，相关系数也为$0$。

破题关键：

• 积分区域的确定：第（1）问需画出$x+y \leq 1$在单位正方形内的区域。
• 独立性判断：通过验证$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$判断随机变量是否独立。

第（1）题

目标：计算$P\{X+Y \leq 1\}$。
步骤：

1. 确定积分区域：$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1-x$。
2. 二重积分计算：
   $\begin{aligned} P\{X+Y \leq 1\} &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} 2x \, dy \, dx \\ &= \int_{0}^{1} 2x \cdot (1-x) \, dx \\ &= 2 \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \\ &= 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}. \end{aligned}$

第（2）题

目标：计算$E(X)$、$E(Y)$、$E(XY)$。
步骤：

1. 求边缘密度：
   • $f_X(x) = \int_{0}^{1} 2x \, dy = 2x$（$0 \leq x \leq 1$）。
   • $f_Y(y) = \int_{0}^{1} 2x \, dx = 1$（$0 \leq y \leq 1$）。
2. 计算数学期望：
   • $E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2x \, dx = \frac{2}{3}$。
   • $E(Y) = \int_{0}^{1} y \cdot 1 \, dy = \frac{1}{2}$。
3. 判断独立性：
   $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$，故$X$与$Y$独立，$E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{1}{3}$。

第（3）题

目标：计算协方差$\text{Cov}(X,Y)$和相关系数$\rho_{XY}$。
步骤：

1. 协方差：
   $\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$（因独立）。
2. 相关系数：
   $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = 0$。