题目
将3只球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。
将3只球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。
题目解答
答案
解：
将3只球随机地放入4个杯子中有
种情况，也就是试验中可能出现的基本事件数有个
(1)当杯中球的最大个数为1时：
事件
包含的基本事件数为
个
则概率为
(2)当杯中球的最大个数为2时:
事件
包含的基本事件数为
个
则概率为
(3)当杯中球的最大个数为3时:
事件
包含的基本事件数为
个
则概率为
因此杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率分别为
解析
步骤 1：计算总的放球方式
将3只球随机地放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总的放球方式为$4^3=64$种。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为1时的放球方式
当杯子中球的最大个数为1时，即每个杯子中至多有1个球。这相当于从4个杯子中选择3个杯子，然后将3个球放入这3个杯子中，每个杯子一个球。因此，放球方式为$C_4^3 \times A_3^3 = 4 \times 6 = 24$种。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为2时的放球方式
当杯子中球的最大个数为2时，即有一个杯子中有2个球，另一个杯子中有1个球。首先从4个杯子中选择1个杯子放2个球，有$C_4^1$种选择；然后从3个球中选择2个球放入这个杯子中，有$C_3^2$种选择；最后将剩下的1个球放入剩下的3个杯子中的任意一个，有$C_3^1$种选择。因此，放球方式为$C_4^1 \times C_3^2 \times C_3^1 = 4 \times 3 \times 3 = 36$种。
步骤 4：计算杯子中球的最大个数为3时的放球方式
当杯子中球的最大个数为3时，即有一个杯子中有3个球。从4个杯子中选择1个杯子放3个球，有$C_4^1$种选择。因此，放球方式为$C_4^1 = 4$种。
步骤 5：计算概率
杯子中球的最大个数为1时的概率为$\dfrac{24}{64}=\dfrac{3}{8}$；
杯子中球的最大个数为2时的概率为$\dfrac{36}{64}=\dfrac{9}{16}$；
杯子中球的最大个数为3时的概率为$\dfrac{4}{64}=\dfrac{1}{16}$。
将3只球随机地放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总的放球方式为$4^3=64$种。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为1时的放球方式
当杯子中球的最大个数为1时，即每个杯子中至多有1个球。这相当于从4个杯子中选择3个杯子，然后将3个球放入这3个杯子中，每个杯子一个球。因此，放球方式为$C_4^3 \times A_3^3 = 4 \times 6 = 24$种。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为2时的放球方式
当杯子中球的最大个数为2时，即有一个杯子中有2个球，另一个杯子中有1个球。首先从4个杯子中选择1个杯子放2个球，有$C_4^1$种选择；然后从3个球中选择2个球放入这个杯子中，有$C_3^2$种选择；最后将剩下的1个球放入剩下的3个杯子中的任意一个，有$C_3^1$种选择。因此，放球方式为$C_4^1 \times C_3^2 \times C_3^1 = 4 \times 3 \times 3 = 36$种。
步骤 4：计算杯子中球的最大个数为3时的放球方式
当杯子中球的最大个数为3时，即有一个杯子中有3个球。从4个杯子中选择1个杯子放3个球，有$C_4^1$种选择。因此，放球方式为$C_4^1 = 4$种。
步骤 5：计算概率
杯子中球的最大个数为1时的概率为$\dfrac{24}{64}=\dfrac{3}{8}$；
杯子中球的最大个数为2时的概率为$\dfrac{36}{64}=\dfrac{9}{16}$；
杯子中球的最大个数为3时的概率为$\dfrac{4}{64}=\dfrac{1}{16}$。