2. (10.0分) 设L是以A(-1,0),B(-3,2)及C(3,0)为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向，则oint_(L)(3x-y)dx+(x-2y)dy等于____A. -8;B. 0;C. 8;D. 20

考查要点：本题主要考查格林定理的应用，将闭合曲线积分转化为二重积分，并结合三角形面积计算求解。

解题核心思路：

1. 识别积分路径：题目中的积分路径是三角形的闭合周界，符合格林定理的适用条件。
2. 应用格林定理：将线积分转换为二重积分，计算被积函数的偏导数之差。
3. 计算区域面积：利用三角形顶点坐标计算面积，最终得到积分结果。

破题关键点：

• 正确应用格林定理，注意曲线方向与定理中正方向（逆时针）一致。
• 准确计算偏导数，避免符号错误。
• 三角形面积公式的正确应用，确保代入坐标无误。

根据格林定理，闭合曲线积分可转化为二重积分：
$\oint_{L} (3x-y)dx + (x-2y)dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x-2y) - \frac{\partial}{\partial y}(3x-y) \right) dA$

步骤1：计算偏导数

• $\frac{\partial}{\partial x}(x-2y) = 1$
• $\frac{\partial}{\partial y}(3x-y) = -1$

步骤2：代入格林定理
$\iint_{D} \left( 1 - (-1) \right) dA = \iint_{D} 2 \, dA$

步骤3：计算三角形面积
三角形顶点为$A(-1,0)$，$B(-3,2)$，$C(3,0)$，面积公式为：
$\text{面积} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$
代入坐标：
$\text{面积} = \frac{1}{2} \left| (-1)(2-0) + (-3)(0-0) + 3(0-2) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 -6 \right| = 4$

步骤4：计算二重积分
$\iint_{D} 2 \, dA = 2 \times 4 = 8$