题目

设 Omega 是由三个坐标面和平面 x + y + z = 1 所围成的闭区域，则三重积分 iiint_(Omega) f(x, y, z), dx , dy , dz 在直角坐标系下的累次积分为（）A. int_(0)^1 dx int_(0)^1-x dy int_(0)^1-x-y f(x, y, z), dzB. int_(0)^1 dx int_(0)^1 dy int_(0)^1 f(x, y, z), dzC. int_(0)^1 dx int_(0)^1 dy int_(0)^1-x-y f(x, y, z), dzD. int_(0)^1 dx int_(0)^1-x dy int_(0)^1 f(x, y, z), dz

设 $\Omega$ 是由三个坐标面和平面 $x + y + z = 1$ 所围成的闭区域，则三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$ 在直角坐标系下的累次积分为（）

A. $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} dy \int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z)\, dz$

B. $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1} f(x, y, z)\, dz$

C. $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z)\, dz$

D. $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} dy \int_{0}^{1} f(x, y, z)\, dz$

题目解答

答案

为了确定三重积分 $\iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, dxdydz$ 在直角坐标系下的累次积分，我们需要理解由三个坐标面和平面 $x + y + z = 1$ 所围成的区域 $\Omega$。三个坐标面是 $x = 0$，$y = 0$，和 $z = 0$。 平面 $x + y + z = 1$ 与坐标轴在点 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$，和 $(0,0,1)$ 相交。这个平面在第一象限中形成一个四面体，其顶点位于原点和这三个交点。 为了设置累次积分，我们将 $z$ 的范围表示为 $x$ 和 $y$ 的函数，将 $y$ 的范围表示为 $x$ 的函数，将 $x$ 的范围表示为常数。四面体内的点 $(x, y, z)$ 满足不等式 $0 \leq z \leq 1 - x - y$，$0 \leq y \leq 1 - x$，和 $0 \leq x \leq 1$。 因此，三重积分可以写为： \[ \iiint\limits_{\Omega} f(x,y,z) \, dxdydz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx \] 这与选项 A 相匹配。因此，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查三重积分积分在直角坐标系下累次次积分的确定，解题的关键在于根据积分区域的边界条件确定积分限。

  1. 确定积分区域 $\Omega$：
    • 已知积分区域 $\Omega$ 是由三个坐标面 $x = 0$，$y = 0$，$z = 0$ 和平面 $x + y + z = 1 所围成的闭区域。
    • 平面 $x + y + z = 1$ 与 $y = 0$，$z = 0$ 所围成的区域是一个四面体，其顶点分别为 $(0,0,0)$，$(1,0,0)$，$(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$。
  2. 确定 $z的积分限：
    • 在区域 $\Omega$ 中，对于固定的 $x$ 和 $y$，$z$ 的取值范围是从 $z = 0$ 到平面 $x + y + z = 1$，即 $z$ 的上限为 $1 - x - y。
    • 所以 $z$ 的积分限为 $0\leq z\leq 1 - x - y$。
  3. 确定y的积分限：
    • 当 $z = 0$ 时，平面 $x + y + z = 1$ 变为 $x + y = 1$，即 $y = 1 - x$。
    • 对于固定的 $x，$y$ 取值范围是从 $y = 0$ 到直线 $y = 1 - x$。
    • 所以 $y$ 的积分限为 $0\leq y\leq 1 - x$。4. 确定x的积分限：
    • 区域 $\Omega$ 在 $x$ 轴上的投影是从 $x = 0$ 到 $x = 1$。
      所以 $x$ 的积分限为 $0\leq x\leq 1$。
  4. 写出累次积分：
    根据以上述积分限，三重积分 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z)\, dx \, dy \, dz$ 在直角坐标系下的累次积分为 $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} dy \int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z)\, dz}$。