题目

求曲线 ) (x)^2+(y)^2+(z)^2-3x=0 2x-3y+5z-4=0 .，在点（1,1,1）处的切线及法平面方程。

求曲线 $\left \{ ^{x^{2}+y^{2}+z^{2}-3x=0}_{2x-3y+5z-4=0} \right.$ ，在点（1,1,1）处的切线及法平面方程。

题目解答

答案

$x^2+y^2+z^2-3x=0$ 在点（1,1,1）处的法向量 $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ $=\left(2x-3,2y,2z\right)\left. {}\right |_{(1,1,1)}=(-1,2,2)$

$2x-3y+5z-4=0$ 在点（1,1,1）处的法向量 $\underset{n_{2}}{\rightarrow}$ $=\left(2,-3,5\right)$ ,

切向量为 $\underset{n_{1}}{\rightarrow}$ $\times \underset{n_{2}}{\rightarrow}$ $=\begin{vmatrix} \underset{i}{\rightarrow}&\underset{j}{\rightarrow} &\underset{k}{\rightarrow}\newline -1 & 2&2\newline 2&-3&5 \end{vmatrix}=(16,9,-1)$

切线方程为 $\frac{x-1}{16}=\frac{y-1}{9}=\frac{z-1}{-1}$

法平面方程为 $16\left(x-1\right)+9\left(y-1\right)-\left(z-1\right)=0$

即 $16x+9y-z-24=0$

解析

步骤 1：求出曲面${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-3x=0$在点（1,1,1）处的法向量
曲面${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-3x=0$在点（1,1,1）处的法向量n1$=(2x-3,2y,2z)|(1,1,1)=(-1,2,2)$
步骤 2：求出平面$2x-3y+5z-4=0$在点（1,1,1）处的法向量
平面$2x-3y+5z-4=0$在点（1,1,1）处的法向量n2=(2,-3,5)
步骤 3：求出切向量
切向量为n1$\times $n2$=\begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix}=(16,9,-1)$
步骤 4：求出切线方程
切线方程为$\dfrac {x-1}{16}=\dfrac {y-1}{9}=\dfrac {z-1}{-1}$
步骤 5：求出法平面方程
法平面方程为$16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0$
即$16x+9y-z-24=0$