题目
设f(x)= {x)^3,xleqslant 1 (x)^2,xgt 1 . 则f(x)在 x=1 处的 ()A、左、右导数都存在B、左导数存在，但右导数不存在C、左导数不存在，但右导数存在D、左、右导数都不存在
- A、左、右导数都存在
- B、左导数存在，但右导数不存在
- C、左导数不存在，但右导数存在
- D、左、右导数都不存在
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：计算左导数
左导数定义为：$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。由于$x \leqslant 1$时，$f(x) = -\frac{2}{3}x^3$，因此$f(1) = -\frac{2}{3}$。当$h$接近0且$h<0$时，$1+h \leqslant 1$，所以$f(1+h) = -\frac{2}{3}(1+h)^3$。因此，左导数为：
$$\lim_{h \to 0^-} \frac{-\frac{2}{3}(1+h)^3 + \frac{2}{3}}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\frac{2}{3}(1+3h+3h^2+h^3) + \frac{2}{3}}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-2h-2h^2-\frac{2}{3}h^3}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-2-2h-\frac{2}{3}h^2) = -2$$
步骤 2：计算右导数
右导数定义为：$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。由于$x > 1$时，$f(x) = x^2$，因此$f(1) = 1$。当$h$接近0且$h>0$时，$1+h > 1$，所以$f(1+h) = (1+h)^2$。因此，右导数为：
$$\lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1+2h+h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (2+h) = 2$$
步骤 3：判断导数存在性
由于左导数为-2，右导数为2，左导数和右导数不相等，因此在$x=1$处导数不存在。但是，左导数存在，右导数也存在。
左导数定义为：$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。由于$x \leqslant 1$时，$f(x) = -\frac{2}{3}x^3$，因此$f(1) = -\frac{2}{3}$。当$h$接近0且$h<0$时，$1+h \leqslant 1$，所以$f(1+h) = -\frac{2}{3}(1+h)^3$。因此，左导数为：
$$\lim_{h \to 0^-} \frac{-\frac{2}{3}(1+h)^3 + \frac{2}{3}}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\frac{2}{3}(1+3h+3h^2+h^3) + \frac{2}{3}}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-2h-2h^2-\frac{2}{3}h^3}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-2-2h-\frac{2}{3}h^2) = -2$$
步骤 2：计算右导数
右导数定义为：$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。由于$x > 1$时，$f(x) = x^2$，因此$f(1) = 1$。当$h$接近0且$h>0$时，$1+h > 1$，所以$f(1+h) = (1+h)^2$。因此，右导数为：
$$\lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1+2h+h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} (2+h) = 2$$
步骤 3：判断导数存在性
由于左导数为-2，右导数为2，左导数和右导数不相等，因此在$x=1$处导数不存在。但是，左导数存在，右导数也存在。