题目
8、填空 设alpha_(1),alpha_(2)是 3times 3非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解向量，已知A=(}1&-1&22&0&-3-2&-a&10),则a=（）.
8、填空 设$\alpha_{1},\alpha_{2}$是$ 3\times 3$非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同的解向量，已知$A=\left(\begin{matrix}1&-1&2\\2&0&-3\\-2&-a&10\end{matrix}\right)$,$b=\left(\begin{matrix}3\\1\\4\end{matrix}\right)$,则a=（）.
题目解答
答案
对增广矩阵 $[A|b]$ 进行初等行变换：
1. $r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1$，得 $\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ -2 & -a & 10 & 4\end{array}\right)$。
2. $r_3 \leftarrow r_3 + 2r_1$，得 $\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ 0 & -a-2 & 14 & 10\end{array}\right)$。
为使 $r(A) = r([A|b]) = 2$，第三行应与前两行线性相关。由 $-a-2 = -2 \times 1$，解得 $a = 2$。此时第三行是第二行的 $-2$ 倍，满足条件。
**答案：** $\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的结构及增广矩阵秩的关系。关键在于理解非齐次方程组有无穷多解的条件，即系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知数个数。
解题思路：
- 非齐次方程组有两个不同的解，说明方程组有无穷多解，此时系数矩阵$A$和增广矩阵$[A|b]$的秩必须相等且小于变量个数（即$r(A)=r([A|b])=2$）。
- 对增广矩阵进行初等行变换，通过构造第三行与前两行线性相关的条件，建立关于$a$的方程求解。
对增广矩阵$[A|b]$进行初等行变换：
-
第一步：$r_2 \leftarrow r_2 - 2r_1$
变换后矩阵为：
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ -2 & -a & 10 & 4 \end{array}\right)$ -
第二步：$r_3 \leftarrow r_3 + 2r_1$
变换后矩阵为：
$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & -7 & -5 \\ 0 & -a-2 & 14 & 10 \end{array}\right)$ -
分析第三行：
为使$r(A)=r([A|b])=2$，第三行需与前两行线性相关。观察第二行$[0, 2, -7, -5]$，若第三行是第二行的$-2$倍，则满足条件：- 第二列：$-a-2 = -2 \times 2 \Rightarrow a = 2$
- 第三列：$14 = -2 \times (-7)$
- 常数项：$10 = -2 \times (-5)$
因此，当$a=2$时，第三行变为$[0, -4, 14, 10]$，与第二行线性相关，秩条件成立。