题目
10.设 f(x)= ) sin x ,xlt 0 ln (1+x),xgeqslant 0 . '求f'(x).-|||-,
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
对于分段函数 $f(x)$，我们需要分别求出每一段的导数。
- 当 $x < 0$ 时，$f(x) = \sin x$，其导数为 $f'(x) = \cos x$。
- 当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) = \ln (1+x)$，其导数为 $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$。
步骤 2：验证导数的连续性
为了确保导数在分段点 $x = 0$ 处连续，我们需要验证 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处的左导数和右导数是否相等。
- 左导数：$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos 0 = 1$。
- 右导数：$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{1+0} = 1$。
由于左导数和右导数相等，因此 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。
对于分段函数 $f(x)$，我们需要分别求出每一段的导数。
- 当 $x < 0$ 时，$f(x) = \sin x$，其导数为 $f'(x) = \cos x$。
- 当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) = \ln (1+x)$，其导数为 $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$。
步骤 2：验证导数的连续性
为了确保导数在分段点 $x = 0$ 处连续，我们需要验证 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处的左导数和右导数是否相等。
- 左导数：$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \cos x = \cos 0 = 1$。
- 右导数：$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{1+0} = 1$。
由于左导数和右导数相等，因此 $f'(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。