题目
求函数 (x)=(x)^2 在(1,1)处的切线方程和法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{2}$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，$f'(x)$ 表示函数在某一点的瞬时变化率，即切线的斜率。对于 $f(x)={x}^{2}$，其导数 $f'(x)=2x$。
步骤 2：计算切线斜率
在点 (1,1) 处，我们需要计算切线的斜率。将 x=1 代入导数 $f'(x)=2x$，得到 $f'(1)=2$。因此，切线的斜率为 2。
步骤 3：求切线方程
已知切线的斜率为 2，且切线经过点 (1,1)，我们可以使用点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 来求出切线方程。将斜率 m=2 和点 (1,1) 代入，得到 $y-1=2(x-1)$。
步骤 4：求法线斜率
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。因此，法线的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$。
步骤 5：求法线方程
已知法线的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$，且法线经过点 (1,1)，我们可以使用点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 来求出法线方程。将斜率 m=$-\dfrac{1}{2}$ 和点 (1,1) 代入，得到 $y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)$。
首先，我们需要求出函数 $f(x)={x}^{2}$ 的导数 $f'(x)$。根据导数的定义，$f'(x)$ 表示函数在某一点的瞬时变化率，即切线的斜率。对于 $f(x)={x}^{2}$，其导数 $f'(x)=2x$。
步骤 2：计算切线斜率
在点 (1,1) 处，我们需要计算切线的斜率。将 x=1 代入导数 $f'(x)=2x$，得到 $f'(1)=2$。因此，切线的斜率为 2。
步骤 3：求切线方程
已知切线的斜率为 2，且切线经过点 (1,1)，我们可以使用点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 来求出切线方程。将斜率 m=2 和点 (1,1) 代入，得到 $y-1=2(x-1)$。
步骤 4：求法线斜率
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。因此，法线的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$。
步骤 5：求法线方程
已知法线的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$，且法线经过点 (1,1)，我们可以使用点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 来求出法线方程。将斜率 m=$-\dfrac{1}{2}$ 和点 (1,1) 代入，得到 $y-1=-\dfrac{1}{2}(x-1)$。