题目

设f(x)满足 f(1)=0 且设f(x)满足 f(1)=0 且，下列说法错误的是( ) A f(x)在x=1连续B f(x)在设f(x)满足 f(1)=0 且内有界C f(x)在x=1可导D f(x)在x=1的邻域内连续

$设f(x)满足f(1)=0且$ $\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}=2$ ，下列说法错误的是( )

A f(x)在x=1连续

B f(x)在 $U(1,\delta)$ 内有界

C f(x)在x=1可导

D f(x)在x=1的邻域内连续

题目解答

本题考查连续、可导以及有界的内容，由于

$\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}=2$ ，此极限值为2，可以判断出极限为 $\frac{0}{0}$ 型，因此 $\lim_{x\to1}f(x)=0$ ，而 $f(1)=0$ ，极限值等于函数值，故f(x)在x=1连续，A正确；

由于 $\lim_{x\to1}f(x)=0$ ，知 $f\left(x\right)$ 在x=1的领域内有定义，

且函数值趋近于1，故f(x)在 $U(1,\delta)$ 内有界，B正确；

根据导数的定义知

$f'\left(1\right)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

$=\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{x-1}=2$ ，f(x)在x=1可导，C正确，

故错误的选择D。