玻璃球的半径为a ，折射率为 n ，求焦点、主平面和焦距。

步骤 1：建立坐标系
以球心为原点，水平光轴为坐标轴建立坐标系。整个光具组相当于两次折射的联合。

步骤 2：第一次折射
对于第一次折射，主点坐标${H}_{1}={H}_{1}'=-r$，物像关系为$\dfrac {1}{u}+\dfrac {n}{v}=\dfrac {n-1}{r}$。由此可知${f}_{1}=\dfrac {r}{n-1}$,${f}_{1}'=\dfrac {nr}{n-1}$。

步骤 3：第二次折射
对于第二次折射，主点坐标${H}_{2}={H}_{2}'=r$，物像关系为$\dfrac {n}{u}+\dfrac {1}{v}=\dfrac {n-1}{r}$。由此可知${f}_{2}=\dfrac {nr}{n-1}$ ,${f}_{2}^{1}=\dfrac {r}{n-1}$。

步骤 4：计算主平面位置
由于d=2r $\Delta =d-{f}_{1}'-{f}_{2}=2r-\dfrac {2nr}{n-1}=-\dfrac {2r}{n-1}$，所以${x}_{UND}=\dfrac {{f}_{1}d}{\Delta }=\dfrac {\dfrac {r}{n-1}\cdot 2r}{-\dfrac {2r}{-1}}=-r$ ${x}_{H'}=\dfrac {{f}_{2}^{d}d}{\Delta }=\dfrac {\dfrac {r}{n-1}\cdot 2r}{-\dfrac {2r}{n-1}}=-r$。因为节点一定在球心，而两边折射率相同，于是主点和节点重合。

步骤 5：计算焦距
焦距为$f=-\dfrac {f'{v}_{2}}{\Delta }=-\dfrac {\dfrac {1}{v-1}\cdot \dfrac {m}{v-1}}{-\dfrac {x}{n-1}}=\dfrac {mr}{2(n-1)}=\dfrac {3}{2}r=\dfrac {3}{2}a$cm,$f'=\dfrac {3}{2}r=\dfrac {3}{2}a$cm。

步骤 6：计算焦点位置
焦点为$F=-\dfrac {3}{2}r=-\dfrac {3}{2}a$cm,$F'=\dfrac {3}{2}r=\dfrac {3}{2}a$cm。