题目
lim _((x, y)arrow (1,0)) (ln (1+xy))/(y) = ( ).A. -1B. 0C. 1D. 2
$\lim _{(x, y)\rightarrow (1,0)} \frac{\ln (1+xy)}{y} = (\quad)$.
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
题目解答
答案
C. 1
解析
本题考查二元函数极限的计算，解题思路是通过等价无穷小替换来简化极限表达式，进而求出极限值。
- 当$(x,y)\to(1,0)$时，$xy\to0$，此时$\ln(1 + xy)$与$xy$是等价无穷小，即$\ln(1 + xy)\sim xy$。
- 将等价无穷小代入原式可得：
$\lim _{(x, y)\rightarrow (1,0)} \frac{\ln (1+xy)}{y}=\lim _{(x, y)\rightarrow (1,0)} \frac{xy}{y}$ - 对$\frac{xy}{y}$进行化简，约去$y$可得：
$\lim _{(x, y)\rightarrow (1,0)} \frac{xy}{y}=\lim _{(x, y)\rightarrow (1,0)} x$ - 当$(x,y)\to(1,0)$时，$x\to1$，所以$\lim _{(x, y)\rightarrow (1,0)} x = 1$。