题目
第11/20题 填空题lim_(xto0_{yto1)}(sin(xy)+xy^2cos x-2x^2y)/(x)=_.(本题5分)请填写答案1
第11/20题 填空题
$\lim_{x\to0_{y\to1}}\frac{\sin(xy)+xy^{2}\cos x-2x^{2}y}{x}=\_.$
(本题5分)
请填写答案
1
题目解答
答案
将极限表达式拆分为三部分：
$\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{\sin(xy) + xy^2 \cos x - 2x^2 y}{x} = \lim_{x \to 0, y \to 1} \left( \frac{\sin(xy)}{x} + \frac{xy^2 \cos x}{x} - \frac{2x^2 y}{x} \right).$
分别计算各部分极限：
- $\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{\sin(xy)}{x} = \lim_{x \to 0, y \to 1} y = 1$（利用 $\sin(xy) \sim xy$）。
- $\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{xy^2 \cos x}{x} = \lim_{x \to 0, y \to 1} y^2 \cos x = 1$。
- $\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{2x^2 y}{x} = \lim_{x \to 0, y \to 1} 2xy = 0$。
三部分极限相加得：
$1 + 1 - 0 = 2.$
答案： $\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查二元函数的极限计算，涉及分式拆分、等价无穷小替换及极限的运算性质。
解题核心思路：将分子拆分为三个部分分别处理，利用等价无穷小替换简化计算，并结合极限的加法法则求解。
破题关键点：
- 拆分分式：将原式拆分为三个分式之和，分别求极限。
- 等价无穷小替换：对$\sin(xy)$使用$\sin z \sim z$（当$z \to 0$时）。
- 逐项化简：约分后直接代入$x \to 0$，$y \to 1$的值。
将原式拆分为三个部分：
$\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{\sin(xy)}{x} + \lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{xy^2 \cos x}{x} - \lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{2x^2 y}{x}.$
第一部分：$\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{\sin(xy)}{x}$
- 当$x \to 0$且$y \to 1$时，$xy \to 0$，利用等价无穷小$\sin(xy) \sim xy$，得：
$\frac{\sin(xy)}{x} \sim \frac{xy}{x} = y.$ - 代入$y \to 1$，极限为$1$。
第二部分：$\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{xy^2 \cos x}{x}$
- 约分$x$后得$y^2 \cos x$。
- 当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$；当$y \to 1$时，$y^2 \to 1$，故极限为$1 \cdot 1 = 1$。
第三部分：$\lim_{x \to 0, y \to 1} \frac{2x^2 y}{x}$
- 约分$x$后得$2xy$。
- 当$x \to 0$时，无论$y$如何变化，$2xy \to 0$，故极限为$0$。
综合结果：
$1 + 1 - 0 = 2.$