题目
40.（判断题，2.0分）若A,B均为n阶矩阵，且A为对称阵，则B^TAB也是对称矩阵.（）A. 对B. 错
40.（判断题，2.0分）
若A,B均为n阶矩阵，且A为对称阵，则$B^{T}AB$也是对称矩阵.（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义矩阵
设 $M = B^T A B$，其中 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$。
步骤 2：计算 $M$ 的转置
计算 $M$ 的转置，即 $M^T$。根据矩阵转置的性质，$(AB)^T = B^T A^T$，因此 \[ M^T = (B^T A B)^T = B^T A^T (B^T)^T \]。
步骤 3：利用 $A$ 的对称性
由于 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$，所以 \[ M^T = B^T A B = M \]。
步骤 4：结论
由于 $M^T = M$，说明 $M$ 是对称矩阵。
设 $M = B^T A B$，其中 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$。
步骤 2：计算 $M$ 的转置
计算 $M$ 的转置，即 $M^T$。根据矩阵转置的性质，$(AB)^T = B^T A^T$，因此 \[ M^T = (B^T A B)^T = B^T A^T (B^T)^T \]。
步骤 3：利用 $A$ 的对称性
由于 $A$ 是对称矩阵，即 $A^T = A$，所以 \[ M^T = B^T A B = M \]。
步骤 4：结论
由于 $M^T = M$，说明 $M$ 是对称矩阵。