- 16 已知 10 mm2 裸铜线允许通过 50 A 电流而不会使导线过热.电流 在导线横截面上均匀分布. 求:(1) 导线内、 外磁感强度的分布; (2) 导 线表面的磁感强度.

本题考查长直导线周围磁场的分布，核心思路是利用安培环路定理。关键点在于：

1. 轴对称性：电流均匀分布，磁场呈轴对称，磁感强度$B$在与导线同轴的圆柱面上各点相等。
2. 分段讨论：导线内部（$r < R$）和外部（$r > R$）的磁场表达式不同，需分别应用安培环路定理。
3. 导线表面连续性：导线表面内外的磁感强度大小相等，方向相同。

第（1）题：导线内、外磁感强度的分布

导线内部（$r < R$）

1. 环路选择：取半径$r$的同心圆环路。
2. 包围电流：电流密度$J = \frac{I}{\pi R^2}$，包围电流$I_{\text{enc}} = J \cdot \pi r^2 = \frac{I r^2}{R^2}$。
3. 安培定理：
   $B \cdot 2\pi r = \mu_0 \frac{I r^2}{R^2} \implies B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}.$

导线外部（$r > R$）

1. 环路选择：取半径$r$的同心圆环路。
2. 包围电流：环路包围总电流$I$。
3. 安培定理：
   $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$

第（2）题：导线表面的磁感强度

1. 表面位置：$r = R$，代入外部解公式：
   $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}.$
2. 计算$R$：导线横截面积$S = \pi R^2 \implies R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} = \sqrt{\frac{10 \times 10^{-6}}{\pi}} \approx 1.78 \times 10^{-3} \, \text{m}$。
3. 代入数值：
   $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \cdot 50}{2\pi \cdot 1.78 \times 10^{-3}} \approx 5.62 \times 10^{-3} \, \text{T}.$