解答题 难度 ★★☆☆☆设f(x)在[0,1]上具有一阶连续导数，f(0)=0，证明：存在xiin[0,1]，使得f^prime(xi)=2int_(0)^1f(x)dx

本题考查拉格朗日中值定理、定积分的性质以及介值定理的综合运用。解题的关键思路是先利用拉格朗日中值定理得到$f(x)$与$f'(\theta)$的关系，再通过定积分的性质确定$\int_{0}^{1}f(x)dx$的取值范围，最后根据介值定理证明存在$\xi$满足条件。

1. 利用拉格朗日中值定理建立$f(x)$与$f'(\theta)$的关系：
   已知$f(x)$在$[0,1]$上具有一阶连续导数，$f(0)=0$。对于任意$x\in(0,1]$，$f(x)$在$[0,x]$上满足拉格朗日中值定理的条件。
   根据拉格朗日中值定理，存在$\theta\in(0,x)$，使得$f(x) - f(0) = f'(\theta)(x - 0)$。
   因为$f(0)=0$，所以$f(x)=f'(\theta)x$。
2. 确定$f(x)$的取值范围：
   设$m$和$M$分别为$f'(x)$在$[0,1]$上的最小值和最大值，即$m\leq f'(x)\leq M$，$x\in[0,1]$。
   由于$\theta\in(0,x)\subseteq[0,1]$，所以$m\leq f'(\theta)\leq M$。
   将不等式两边同时乘以$x$（$x\gt0$），可得$mx\leq f'(\theta)x\leq Mx$，即$mx\leq f(x)\leq Mx$。
3. 对不等式两边进行定积分：
   对$mx\leq f(x)\leq Mx$在区间$[0,1]$上进行定积分，根据定积分的性质：若$g(x)\leq h(x)$，$x\in[a,b]$，则$\int_{a}^{b}g(x)dx\leq\int_{a}^{b}h(x)dx$。
   可得$\int_{0}^{1}mx dx\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\int_{0}^{1}Mx dx$。
   分别计算定积分：
   • 计算$\int_{0}^{1}mx dx$：
     根据定积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$\int_{0}^{1}mx dx=m\int_{0}^{1}x dx=m\cdot[\frac{1}{2}x^2]_0^1=m\cdot(\frac{1}{2}\times1^2 - \frac{1}{2}\times0^2)=\frac{1}{2}m$。
   • 计算$\int_{0}^{1}Mx dx$：
     同理可得$\int_{0}^{1}Mx dx=M\int_{0}^{1}x dx=M\cdot[\frac{1}{2}x^2]_0^1=M\cdot(\frac{1}{2}\times1^2 - \frac{1}{2}\times0^2)=\frac{1}{2}M$。
     所以$\frac{1}{2}m\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\frac{1}{2}M$。
4. 两边乘以$2$得到$2\int_{0}^{1}f(x)dx$的取值范围：
   将不等式$\frac{1}{2}m\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\leq\frac{1}{2}M$两边同时乘以$2$，可得$m\leq 2\int_{0}^{1}f(x)dx\leq M$。
5. 利用介值定理证明存在$\xi$：
   因为$f'(x)$在$[0,1]$上连续，且$m$和$M$分别为$f'(x)$在$[0,1]$上的最小值和最大值，$2\int_{0}^{1}f(x)dx$介于$m$和$M$之间。
   根据介值定理，存在$\xi\in[0,1]$，使得$f'(\xi)=2\int_{0}^{1}f(x)dx$。