15.微分方程(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0满足条件y(1)=1的解为_____.

本题考查一阶精确微分方程的求解。解题思路是先判断给定的微分方程是否为精确微分方程，若为精确微分方程，则通过积分求出势函数，再利用初始条件确定势函数中的常数，最后得到满足条件的解。

1. 判断方程是否为精确微分方程：
   • 对于给定的微分方程$(2y - 3x)dx + (2x - 5y)dy = 0$，与标准形式$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$对比，可得$M(x,y) = 2y - 3x$，$N(x,y) = 2x - 5y$。
   • 计算偏导数：
     • 根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，对$M(x,y)$关于$y$求偏导数，$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial(2y - 3x)}{\partial y}=2$。
     • 对$N(x,y)$关于$x$求偏导数，$\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial(2x - 5y)}{\partial x}=2$。
   • 由于$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，所以该方程为精确微分方程。
2. 求势函数$f(x,y)$：
   • 因为方程是精确的，所以存在势函数$f(x,y)$满足$\frac{\partial f}{\partial x} = M(x,y) = 2y - 3x$，$\frac{\partial f}{\partial y} = N(x,y) = 2x - 5y$。
   • 对$M(x,y)$关于$x$积分：
     • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，$f(x,y) = \int (2y - 3x) \, dx = 2yx - \frac{3x^2}{2} + g(y)$，其中$g(y)$是关于$y$的待定函数。
   • 对$f(x,y)$关于$y$求偏导并令其等于$N(x,y)$：
     • $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial(2yx - \frac{3x^2}{2} + g(y))}{\partial y}=2x + g^\prime(y)$。
     • 因为$\frac{\partial f}{\partial y} = N(x,y) = 2x - 5y$，所以$2x + g^\prime(y) = 2x - 5y$，移项可得$g^\prime(y) = -5y$。
     • 对$g^\prime(y)$关于$y$积分，$g(y) = \int -5y \, dy = -\frac{5y^2}{2} + C$，其中$C$为常数。
   • 因此，势函数为$f(x,y) = 2yx - \frac{3x^2}{2} - \frac{5y^2}{2} + C$。
3. 利用初始条件确定常数$C$：
   • 已知初始条件$y(1) = 1$，即当$x = 1$时，$y = 1$。
   • 将$x = 1$，$y = 1$代入势函数$f(x,y)$中，$f(1,1) = 2\times1\times1 - \frac{3\times1^2}{2} - \frac{5\times1^2}{2} + C = 2 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} + C$。
   • 计算$2 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} + C = 2 - (\frac{3}{2} + \frac{5}{2}) + C = 2 - 4 + C = -2 + C$。
   • 因为精确微分方程的解满足$f(x,y)=0$，所以$-2 + C = 0$，解得$C = 2$。
4. 得到满足条件的解：
   • 将$C = 2$代入势函数$f(x,y)$中，得到$2yx - \frac{3x^2}{2} - \frac{5y^2}{2} + 2 = 0$。
   • 等式两边同时乘以$2$去分母得$4yx - 3x^2 - 5y^2 + 4 = 0$，移项可得$3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4$。