题目
(11) int dfrac (sin x+cos x)(sqrt [3]{sin x-cos x)}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别积分形式
观察积分 $\int \dfrac {\sin x+\cos x}{\sqrt [3]{\sin x-\cos x}}dx$，我们注意到分子是 $\sin x + \cos x$，而分母是 $(\sin x - \cos x)^{\frac{1}{3}}$。这提示我们可能需要使用代换法来简化积分。
步骤 2：代换
设 $u = \sin x - \cos x$，则 $du = (\cos x + \sin x)dx$。这样，原积分可以写为 $\int \dfrac {1}{\sqrt [3]{u}}du$。
步骤 3：积分
现在，积分变为 $\int u^{-\frac{1}{3}}du$。根据幂函数的积分公式，$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$。因此，$\int u^{-\frac{1}{3}}du = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}} + C$。
步骤 4：回代
将 $u = \sin x - \cos x$ 回代，得到 $\frac{3}{2}(\sin x - \cos x)^{\frac{2}{3}} + C$。
观察积分 $\int \dfrac {\sin x+\cos x}{\sqrt [3]{\sin x-\cos x}}dx$，我们注意到分子是 $\sin x + \cos x$，而分母是 $(\sin x - \cos x)^{\frac{1}{3}}$。这提示我们可能需要使用代换法来简化积分。
步骤 2：代换
设 $u = \sin x - \cos x$，则 $du = (\cos x + \sin x)dx$。这样，原积分可以写为 $\int \dfrac {1}{\sqrt [3]{u}}du$。
步骤 3：积分
现在，积分变为 $\int u^{-\frac{1}{3}}du$。根据幂函数的积分公式，$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，其中 $n \neq -1$。因此，$\int u^{-\frac{1}{3}}du = \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2}u^{\frac{2}{3}} + C$。
步骤 4：回代
将 $u = \sin x - \cos x$ 回代，得到 $\frac{3}{2}(\sin x - \cos x)^{\frac{2}{3}} + C$。