题目
若由所围成的闭区域，则
若
由
所围成的闭区域，则
题目解答
答案
作坐标变换
，积分区域为
，因为积分
关于积分区域对称，且为奇函数，所以积分
，则
，所以选
。
解析
步骤 1：坐标变换
将直角坐标系下的积分区域转换为柱坐标系下的积分区域。令$x=\rho \cos \theta $, $y=\rho \sin \theta $，则积分区域为$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi $, $0\leqslant \rho \leqslant z$, $0\leqslant z\leqslant 1$。
步骤 2：积分区域对称性
由于积分区域关于$x$轴和$y$轴对称，且$x+y$是奇函数，因此积分${\iint }_{(x+y)dx}dxdz$关于积分区域对称，且为奇函数，所以积分${\iint }_{(x+y)dx}dydz=0$。
步骤 3：计算积分
根据步骤2，原积分可以简化为$\iint \int zdxdydz$。在柱坐标系下，$dxdydz=\rho d\rho d\theta dz$，因此原积分变为$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} z\rho d\rho d\theta dz$。
步骤 4：计算积分值
计算积分$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} z\rho d\rho d\theta dz$，得到$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} z\rho d\rho d\theta dz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}z^3 d\theta dz = \int_{0}^{1} \pi z^3 dz = \frac{\pi}{4}$。
将直角坐标系下的积分区域转换为柱坐标系下的积分区域。令$x=\rho \cos \theta $, $y=\rho \sin \theta $，则积分区域为$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi $, $0\leqslant \rho \leqslant z$, $0\leqslant z\leqslant 1$。
步骤 2：积分区域对称性
由于积分区域关于$x$轴和$y$轴对称，且$x+y$是奇函数，因此积分${\iint }_{(x+y)dx}dxdz$关于积分区域对称，且为奇函数，所以积分${\iint }_{(x+y)dx}dydz=0$。
步骤 3：计算积分
根据步骤2，原积分可以简化为$\iint \int zdxdydz$。在柱坐标系下，$dxdydz=\rho d\rho d\theta dz$，因此原积分变为$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} z\rho d\rho d\theta dz$。
步骤 4：计算积分值
计算积分$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} z\rho d\rho d\theta dz$，得到$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z} z\rho d\rho d\theta dz = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}z^3 d\theta dz = \int_{0}^{1} \pi z^3 dz = \frac{\pi}{4}$。