37.(2013计算机)如果-|||-(x)=dfrac (|x|)(x(x-1){(x-2))^2}-|||-那么以下区间是f (x)的有界区间的是-|||-__-|||-A. (-1,0) B.(0,1)-|||-C.(1,2) D.(2,3)

考查要点：本题主要考查函数有界性的判断，需要结合函数的断点位置及各区间内的极限行为进行分析。

解题核心思路：

1. 确定断点：分母为零的点将数轴分为若干区间，这些点可能使函数无界。
2. 分析各区间内函数行为：在每个区间内，判断函数是否趋向无穷大（即是否存在垂直渐近线）。
3. 判断有界性：若函数在区间内所有点的值均不趋向无穷大，则该区间为有界区间。

破题关键点：

• 断点位置：分母为 $x(x-1)(x-2)^2$，断点为 $x=0,1,2$。
• 极限分析：特别关注区间端点处的极限，若极限存在（有限），则函数在该点附近有界。

步骤1：确定断点

函数 $f(x)=\dfrac{|x|}{x(x-1)(x-2)^2}$ 的分母为 $x(x-1)(x-2)^2$，当分母为零时，函数无定义，即断点为 $x=0,1,2$。

步骤2：分析各区间内函数行为

将数轴分为四个区间：$(-\infty,0)$、$(0,1)$、$(1,2)$、$(2,+\infty)$，逐一分析：

区间 $(-1,0)$（选项A）

• 断点附近极限：当 $x \to 0^-$ 时，$|x|=-x$，分母 $x(x-1)(x-2)^2$ 中：
  • $x \to 0^-$（负数），$x-1 \to -1$（负数），$(x-2)^2 \to 4$（正数）。
  • 分母整体趋近于 $0^- \cdot (-1) \cdot 4 = 0^+$，分子趋近于 $0$。
  • 极限计算：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{-x}{x(x-1)(x-2)^2} = \dfrac{1}{4}$（有限）。
• 区间内部：分母始终为正数，分子为负数，函数值为有限负数。
• 结论：函数在 $(-1,0)$ 内有界。

区间 $(0,1)$（选项B）

• 断点附近极限：当 $x \to 1^-$ 时，分母 $x(x-1)(x-2)^2$ 中 $x-1 \to 0^-$，分母趋近于 $0^-$，分子趋近于 $1$。
• 极限计算：$\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$（无界）。
• 结论：函数在 $(0,1)$ 内无界。

区间 $(1,2)$（选项C）

• 断点附近极限：当 $x \to 1^+$ 时，分母 $x(x-1)(x-2)^2$ 中 $x-1 \to 0^+$，分母趋近于 $0^+$，分子趋近于 $1$。
• 极限计算：$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$（无界）。
• 结论：函数在 $(1,2)$ 内无界。

区间 $(2,3)$（选项D）

• 断点附近极限：当 $x \to 2^+$ 时，分母 $(x-2)^2 \to 0^+$，分母整体趋近于 $0^+$，分子趋近于 $2$。
• 极限计算：$\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$（无界）。
• 结论：函数在 $(2,3)$ 内无界。